同济高数 第1章 第1-1-15题
📝 题目
15．已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 $\varphi=40^{\circ}$（图1－20）．当过水断面 $A B C D$ 的面积为定值 $S_{0}$时，求湿周 $L(L=A B+B C+C D)$ 与水深 $h$ 之间的函数关系式，并指明其定义域．
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💡 答案解析
[AI解答]
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解：
设水渠横断面等腰梯形的上底为 $AB$，下底为 $CD$，高为水深 $h$。已知斜角 $\varphi = 40^\circ$，即腰与水平方向的夹角为 $40^\circ$。
过水断面 $ABCD$ 为梯形，其面积 $S_0$ 为定值。
首先，设下底 $CD = b$，则上底 $AB$ 比下底长，每侧多出的水平长度为 $h \cot \varphi$，因此
$$
AB = b + 2h \cot 40^\circ.
$$
梯形面积公式：
$$
S_0 = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{(b + 2h \cot 40^\circ) + b}{2} \cdot h = \frac{2b + 2h \cot 40^\circ}{2} \cdot h = (b + h \cot 40^\circ) h.
$$
于是
$$
S_0 = bh + h^2 \cot 40^\circ.
$$
解得
$$
b = \frac{S_0}{h} - h \cot 40^\circ.
$$
湿周 $L$ 为：
$$
L = AB + BC + CD.
$$
其中 $BC$ 为腰长，由几何关系：
$$
BC = \frac{h}{\sin 40^\circ}.
$$
而 $AB = b + 2h \cot 40^\circ$，$CD = b$，所以
$$
L = (b + 2h \cot 40^\circ) + \frac{h}{\sin 40^\circ} + b = 2b + 2h \cot 40^\circ + \frac{h}{\sin 40^\circ}.
$$
将 $b$ 的表达式代入：
$$
L = 2\left( \frac{S_0}{h} - h \cot 40^\circ \right) + 2h \cot 40^\circ + \frac{h}{\sin 40^\circ}
= \frac{2S_0}{h} - 2h \cot 40^\circ + 2h \cot 40^\circ + \frac{h}{\sin 40^\circ}.
$$
化简得
$$
L = \frac{2S_0}{h} + \frac{h}{\sin 40^\circ}.
$$
定义域：
水深 $h > 0$，且下底 $b > 0$，即
$$
\frac{S_0}{h} - h \cot 40^\circ > 0 \quad \Rightarrow \quad h^2 < \frac{S_0}{\cot 40^\circ} = S_0 \tan 40^\circ.
$$
所以
$$
0 < h < \sqrt{S_0 \tan 40^\circ}.
$$
因此，函数关系式为
$$
\boxed{L = \frac{2S_0}{h} + \frac{h}{\sin 40^\circ}, \quad h \in (0, \sqrt{S_0 \tan 40^\circ})}.
$$