同济高数 第1章 第1-1-16题
📝 题目
16．设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geqslant 0)$ ．若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线 $l$ 左下方部分的面积，试求 $S(t)$ 与 $t$ 之间的函数关系．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求正方形 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ 在直线 $x + y = t$ 左下方部分的面积 $S(t)$，其中 $t \ge 0$。
首先，直线 $x + y = t$ 的“左下方”是指满足 $x + y \le t$ 的区域。由于正方形范围是 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$，我们需要根据 $t$ 的不同取值分段讨论。
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情况1： $0 \le t \le 1$
此时直线与正方形的交点在两条坐标轴上，且截距都小于等于1。正方形内满足 $x + y \le t$ 的区域是一个等腰直角三角形，直角边长为 $t$，因此面积为：
$$
S(t) = \frac{1}{2} t^2.
$$
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情况2： $1 < t \le 2$
此时直线穿过正方形，与正方形的边界交于 $(t-1, 1)$ 和 $(1, t-1)$。正方形内满足 $x + y \le t$ 的部分是正方形减去右上角的一个小三角形，该小三角形的直角边长为 $2 - t$，因此小三角形面积为：
$$
\frac{1}{2} (2 - t)^2.
$$
正方形总面积是1，所以：
$$
S(t) = 1 - \frac{1}{2}(2 - t)^2.
$$
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情况3： $t > 2$
此时直线完全在正方形的右上方，整个正方形都满足 $x + y \le t$，因此：
$$
S(t) = 1.
$$
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情况4： $t < 0$
题目给定 $t \ge 0$，故不考虑。
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综上，函数关系为：
$$
S(t) =
\begin{cases}
\displaystyle \frac12 t^2, & 0 \le t \le 1, \$$1em]
\displaystyle 1 - \frac12 (2 - t)^2, & 1 < t \le 2, \$$1em]
1, & t > 2.
\end{cases}
$$