同济高数 第1章 第1-1-4题
📝 题目
4．讨论下列函数的有界性：
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$ ；
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：讨论下列函数的有界性：
（1）$ f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} $
（2）$ f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} $
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（1）$ f(x)=\frac{x}{1+x^{2}} $
步骤1：分析定义域
定义域为 $ \mathbb{R} $，函数连续。
**步骤2：考察当 $ x \to \pm\infty $ 时的极限**
$$
\lim_{x\to \infty} \frac{x}{1+x^{2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \frac{1}{x} + x } = 0
$$
同理 $ x\to -\infty $ 时极限也为 0。
步骤3：求极值
求导：
$$
f'(x) = \frac{(1+x^{2}) - x(2x)}{(1+x^{2})^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}
$$
令 $ f'(x)=0 $ 得 $ x = \pm 1 $。
计算：
$$
f(1) = \frac{1}{2}, \quad f(-1) = -\frac{1}{2}
$$
由于函数连续且两端趋于0，故最大值 $ \frac12 $，最小值 $ -\frac12 $。
结论：函数有界，且
$$
|f(x)| \le \frac12
$$
---
（2）$ f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} $
步骤1：定义域
分母 $ 1+x^{4} \ge 1 > 0 $，定义域为 $ \mathbb{R} $，函数连续。
步骤2：考察无穷远处
当 $ x\to \pm\infty $：
$$
\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}} \sim \frac{x^{2}}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}} \to 0
$$
所以两端趋于 0。
步骤3：求极值
求导：
$$
f'(x) = \frac{2x(1+x^{4}) - (1+x^{2})\cdot 4x^{3}}{(1+x^{4})^{2}}
= \frac{2x + 2x^{5} - 4x^{3} - 4x^{5}}{(1+x^{4})^{2}}
= \frac{2x - 4x^{3} - 2x^{5}}{(1+x^{4})^{2}}
$$
提取公因式：
$$
f'(x) = \frac{2x(1 - 2x^{2} - x^{4})}{(1+x^{4})^{2}}
$$
令 $ f'(x)=0 $ 得 $ x=0 $ 或 $ 1 - 2x^{2} - x^{4}=0 $。
令 $ t = x^{2} \ge 0 $，则方程：
$$
t^{2} + 2t - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -1 \pm \sqrt{2}
$$
取正根：$ t = \sqrt{2} - 1 $，即 $ x = \pm \sqrt{\sqrt{2} - 1} $。
步骤4：比较函数值
计算：
$$
f(0) = 1
$$
令 $ a = \sqrt{\sqrt{2} - 1} $，则 $ a^{2} = \sqrt{2} - 1 $，$ a^{4} = (\sqrt{2} - 1)^{2} = 3 - 2\sqrt{2} $。
于是：
$$
f(a) = \frac{1 + (\sqrt{2} - 1)}{1 + (3 - 2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}
$$
有理化分母：
$$
\frac{\sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(4-2)} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}
$$
显然 $ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \approx 1.207 > 1 $，所以最大值是 $ \frac{\sqrt{2}+1}{2} $，最小值是 0（取不到，但下确界为0）。
结论：函数有界，且
$$
0 < f(x) \le \frac{\sqrt{2}+1}{2}
$$
---
最终答案：
（1）有界，$ |f(x)| \le \frac12 $；
（2）有界，$ 0 < f(x) \le \frac{\sqrt{2}+1}{2} $。