同济高数 第1章 第1-10-6题

教材习题

📝 题目

6．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$a\lt x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{n}\lt b(n \geqslant 3)$ ，证明：在 $\left(x_{1}, x_{n}\right)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $\displaystyle f(\xi)=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{n}$.

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

证明：
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，因此在子区间 $[x_1, x_n]$ 上也连续。
由闭区间上连续函数的最值定理，$f(x)$ 在 $[x_1, x_n]$ 上存在最大值 $M$ 和最小值 $m$，即
$$
m \leq f(x) \leq M, \quad \forall x \in [x_1, x_n].
$$

于是对于每个 $x_i$（$i = 1,2,\dots,n$），都有
$$
m \leq f(x_i) \leq M.
$$

将这 $n$ 个不等式相加，得到
$$
n m \leq f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) \leq n M.
$$

两边同时除以 $n$，得
$$
m \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \leq M.
$$

记
$$
\mu = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n},
$$
则 $\mu$ 介于 $m$ 与 $M$ 之间。由闭区间上连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [x_1, x_n]$，使得
$$
f(\xi) = \mu.
$$

又因为 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，且 $n \geq 3$，所以 $\mu$ 是至少三个数的平均值，它不可能等于所有端点值（除非所有值相等，但此时结论显然成立）。因此，可以取 $\xi$ 在开区间 $(x_1, x_n)$ 内。
综上，存在 $\xi \in (x_1, x_n)$，使得
$$
f(\xi) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}.
$$

证毕。

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：确定函数在子区间上的连续性
由于 f(x) 在 [a, b] 上连续，而 [x1, xn] 是 [a, b] 的子区间，因此 f(x) 在 [x1, xn] 上也连续。
提示：连续性在子区间上保持。
步骤 2/6
目标：应用最值定理得到最大值和最小值
由闭区间上连续函数的最值定理，f(x) 在 [x1, xn] 上存在最大值 M 和最小值 m，即对任意 x ∈ [x1, xn]，有 m ≤ f(x) ≤ M。
公式：m = min_{x∈[x1,xn]} f(x), M = max_{x∈[x1,xn]} f(x)
提示：最值定理是闭区间上连续函数的重要性质。
步骤 3/6
目标：对每个函数值进行不等式估计
对于每个 xi (i=1,2,...,n)，由于 xi ∈ [x1, xn]，所以 m ≤ f(xi) ≤ M。
公式：m ≤ f(xi) ≤ M
步骤 4/6
目标：求和并除以 n
将 n 个不等式相加得 n m ≤ f(x1)+...+f(xn) ≤ n M，再除以 n 得 m ≤ (f(x1)+...+f(xn))/n ≤ M。
公式：m ≤ (∑_{i=1}^n f(xi))/n ≤ M
提示：注意不等式方向一致。
步骤 5/6
目标：应用介值定理
记 μ = (f(x1)+...+f(xn))/n，则 μ 介于 m 和 M 之间。由介值定理，存在 ξ ∈ [x1, xn] 使得 f(ξ)=μ。
公式：f(ξ) = μ
提示：介值定理要求函数连续且 μ 在 m 和 M 之间。
步骤 6/6
目标：证明 ξ 在开区间内
由于 n ≥ 3，μ 是至少三个数的平均值，除非所有 f(xi) 相等，否则 μ 不等于端点值。若所有值相等，则结论显然成立。因此可取 ξ ∈ (x1, xn)。
提示：注意排除端点情况。

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