同济高数 第1章 第1-2-1题

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习题1-2 解答

(1) $\displaystyle \left\{\frac{1}{2^{n}}\right\}$
当 $n$ 增大时，$2^n$ 趋于无穷大，因此 $\displaystyle \frac{1}{2^n}$ 趋于 0。数列收敛，极限为 0。
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$

(2) $\displaystyle \left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$
当 $n$ 增大时，$\displaystyle \frac{1}{n}\to 0$，乘以有界量 $(-1)^n$ 后仍趋于 0。数列收敛，极限为 0。
$$\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{1}{n}=0$$

(3) $\displaystyle \left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$
当 $n$ 增大时，$\displaystyle \frac{1}{n^2}\to 0$，因此 $\displaystyle 2+\frac{1}{n^2}\to 2$。数列收敛，极限为 2。
$$\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n^2}\right)=2$$

(4) $\displaystyle \left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$
化简：$\displaystyle \frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$，当 $n\to\infty$ 时，$\displaystyle \frac{2}{n+1}\to 0$，故极限为 1。数列收敛。
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n+1}=1$$

(5) $\left\{n(-1)^{n}\right\}$
当 $n$ 为偶数时，$n(-1)^n=n\to\infty$；当 $n$ 为奇数时，$n(-1)^n=-n\to -\infty$。数列不趋于一个确定的数，故发散。

(6) $\displaystyle \left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$
$$\frac{2^n-1}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n-\frac{1}{3^n}$$
由于 $\displaystyle \frac{2}{3}<1$，$\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0$，且 $\displaystyle \frac{1}{3^n}\to 0$，故数列收敛，极限为 0。
$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}=0$$

(7) $\displaystyle \left\{n-\frac{1}{n}\right\}$
当 $n\to\infty$ 时，$n\to\infty$，$\displaystyle \frac{1}{n}\to 0$，因此 $\displaystyle n-\frac{1}{n}\to\infty$，数列发散。

(8) $\displaystyle \left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$
当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n+1=0$，该项为 0；
当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n+1=2$，该项为 $\displaystyle 2\cdot\frac{n+1}{n}=2\left(1+\frac{1}{n}\right)\to 2$。
因此数列的子列分别趋于 0 和 2，不趋于同一极限，故发散。

总结
收敛数列：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)；
发散数列：(5)、(7)、(8)。