同济高数 第1章 第1-4-5题
📝 题目
5．根据函数极限或无穷大定义，填写下表：
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline & $f(x) \rightarrow A$ & $f(x) \rightarrow \infty$ & $f(x) \rightarrow+\infty$ & $f(x) \rightarrow-\infty$ \\
\hline $x \rightarrow x_{0}$ & $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $\exists \delta\gt 0$ ，使当 $0\lt \left|x-x_{0}\right|\lt \delta$ 时，即有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ & & & \\
\hline $x \rightarrow x_{0}^{+}$ & & & & \\
\hline $x \rightarrow x_{0}^{-}$ & & & & \\
\hline $x \rightarrow \infty$ & & $\forall M\gt 0$ ， $\exists X\gt 0$ ，使当 $|x|\gt X$ 时，即有 $|f(x)|\gt M$ & & \\
\hline $x \rightarrow+\infty$ & & & & \\
\hline $x \rightarrow-\infty$ & & & & \\
\hline
\end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
根据函数极限与无穷大的定义，将表格中空缺的部分填写如下。
表中已给出的定义作为参考，其余按定义模式补充。
$$
\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
\hline
& f(x) \rightarrow A & f(x) \rightarrow \infty & f(x) \rightarrow +\infty & f(x) \rightarrow -\infty \\
\hline
x \rightarrow x_{0} &
\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0<|x-x_{0}|<\delta \text{ 时，有 } |f(x)-A|<\varepsilon &
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0<|x-x_{0}|<\delta \text{ 时，有 } |f(x)|>M &
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0<|x-x_{0}|<\delta \text{ 时，有 } f(x)>M &
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0<|x-x_{0}|<\delta \text{ 时，有 } f(x)<-M \\
\hline
x \rightarrow x_{0}^{+} &
\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0
x \rightarrow x_{0}^{-} &
\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0
\forall M>0,\ \exists \delta>0,\ \text{使当 } 0
x \rightarrow \infty &
\forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } |x|>X \text{ 时，有 } |f(x)-A|<\varepsilon &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } |x|>X \text{ 时，有 } |f(x)|>M &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } |x|>X \text{ 时，有 } f(x)>M &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } |x|>X \text{ 时，有 } f(x)<-M \\
\hline
x \rightarrow +\infty &
\forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x>X \text{ 时，有 } |f(x)-A|<\varepsilon &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x>X \text{ 时，有 } |f(x)|>M &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x>X \text{ 时，有 } f(x)>M &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x>X \text{ 时，有 } f(x)<-M \\
\hline
x \rightarrow -\infty &
\forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x<-X \text{ 时，有 } |f(x)-A|<\varepsilon &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x<-X \text{ 时，有 } |f(x)|>M &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x<-X \text{ 时，有 } f(x)>M &
\forall M>0,\ \exists X>0,\ \text{使当 } x<-X \text{ 时，有 } f(x)<-M \\
\hline
\end{array}
$$
注：
- 对于 $x \to x_0^+$，条件为 $0 < x - x_0 < \delta$；
- 对于 $x \to x_0^-$，条件为 $0 < x_0 - x < \delta$；
- 对于 $x \to +\infty$，条件为 $x > X$；
- 对于 $x \to -\infty$，条件为 $x < -X$（或 $x < -X$ 等价于 $|x|>X$ 且 $x<0$）。
- 无穷大的定义中，$M>0$ 是任意大的正数。