同济高数 第1章 第1-4-6题

[AI解答]

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问题：
函数 $ y = x \cos x $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内是否有界？这个函数是不是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大？为什么？

解答：

1. **判断函数在 $ (-\infty, +\infty) $ 上是否有界**
函数 $ y = x \cos x $ 的定义域为全体实数。
考虑点列 $ x_n = 2n\pi $，其中 $ n \in \mathbb{N} $，则
$$
y(x_n) = (2n\pi) \cdot \cos(2n\pi) = 2n\pi \cdot 1 = 2n\pi.
$$
当 $ n \to +\infty $ 时，$ y(x_n) \to +\infty $，因此函数值可以无限增大，故函数在 $ (-\infty, +\infty) $ 上无界。

2. **判断是否为 $ x \to +\infty $ 时的无穷大**
若 $ y = x \cos x $ 是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大，则对任意 $ M > 0 $，存在 $ X > 0 $，当 $ x > X $ 时，恒有 $ |x \cos x| > M $。
但考虑另一列点 $ x_n = \frac{\pi}{2} + n\pi $，其中 $ n \in \mathbb{N} $，则
$$
\cos\left( \frac{\pi}{2} + n\pi \right) = 0,
$$
因此
$$
y(x_n) = x_n \cdot 0 = 0.
$$
无论 $ x $ 多大，总存在这样的点使函数值为 0，不满足“绝对值大于任意正数”的条件。
所以 $ y = x \cos x $ 不是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大。

结论：
- 函数在 $ (-\infty, +\infty) $ 上无界。
- 函数不是 $ x \to +\infty $ 时的无穷大，因为存在子列使函数值恒为 0，不满足无穷大的定义。

难度评级：★★☆☆☆