同济高数 第1章 第1-9-1题
📝 题目
1．求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{2}-x-3}{x^{2}+x-6}$ 的连续区间，并求极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x), ~ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-3} f(x)$ 及 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，函数
$$
f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x^{2}+x-6}
$$
为有理函数，其连续区间为分母不为零的点集。
分母因式分解：
$$
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)
$$
所以分母为零的点为 $x=-3$ 和 $x=2$。因此连续区间为
$$
(-\infty,-3)\cup(-3,2)\cup(2,+\infty).
$$
接下来分别求极限。
1. 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 0}} f(x)$：
由于 $x=0$ 在连续区间内，直接代入：
$$
f(0)=\frac{0+0-0-3}{0+0-6}=\frac{-3}{-6}=\frac12.
$$
所以
$$
\lim_{x\to 0}f(x)=\frac12.
$$
2. 求 $\displaystyle{\lim_{x\to -3}} f(x)$：
先对分子因式分解。尝试分组：
$$
x^{3}+3x^{2}-x-3 = x^{2}(x+3)-1(x+3)=(x+3)(x^{2}-1)=(x+3)(x-1)(x+1).
$$
因此
$$
f(x)=\frac{(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+3)(x-2)}.
$$
当 $x\neq -3$ 时可约去 $x+3$：
$$
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-2}.
$$
于是
$$
\lim_{x\to -3}f(x)=\frac{(-3-1)(-3+1)}{-3-2}=\frac{(-4)(-2)}{-5}=\frac{8}{-5}=-\frac{8}{5}.
$$
3. 求 $\displaystyle{\lim_{x\to 2}} f(x)$：
利用化简后的形式
$$
f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-2},\quad x\neq 2.
$$
当 $x\to 2$ 时，分子趋于 $(2-1)(2+1)=3$，分母趋于 $0$，因此极限为无穷大。具体判断符号：
当 $x\to 2^{+}$，分母正，故极限为 $+\infty$；
当 $x\to 2^{-}$，分母负，故极限为 $-\infty$。
因此双侧极限不存在，可写为
$$
\lim_{x\to 2}f(x)=\infty \quad (\text{或不存在}).
$$
最终答案：
连续区间：$(-\infty,-3)\cup(-3,2)\cup(2,+\infty)$
$$
\lim_{x\to 0}f(x)=\frac12,\quad \lim_{x\to -3}f(x)=-\frac{8}{5},\quad \lim_{x\to 2}f(x)=\infty.
$$
难度：★★☆☆☆