同济高数 第1章 第1-9-3题

[AI解答]

[AI解答]

以下是各极限的求解过程：

（1）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5}
$$
由于根号内函数连续，直接代入 $x=0$：
$$
\sqrt{0^2 - 2\cdot 0 + 5} = \sqrt{5}
$$
难度：★☆☆☆☆

（2）
$$
\displaystyle{\lim}_{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3}
$$
代入 $\alpha = \frac{\pi}{4}$，则 $2\alpha = \frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，所以
$$
1^3 = 1
$$
难度：★☆☆☆☆

（3）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x)
$$
代入 $x=\frac{\pi}{6}$，则 $2x = \frac{\pi}{3}$，$\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$，于是
$$
2\cos\frac{\pi}{3} = 1,\quad \ln 1 = 0
$$
难度：★☆☆☆☆

（4）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}
$$
分子有理化：
$$
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}
$$
当 $x\to 0$ 时，极限为
$$
\frac{1}{1+1} = \frac12
$$
难度：★★☆☆☆

（5）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1}
$$
分子有理化：
$$
\frac{(\sqrt{5x-4}-\sqrt{x})(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})} = \frac{5x-4 - x}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})} = \frac{4(x-1)}{(x-1)(\sqrt{5x-4}+\sqrt{x})}
$$
约去 $x-1$，得
$$
\frac{4}{\sqrt{5x-4}+\sqrt{x}} \xrightarrow{x\to 1} \frac{4}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{4}{2} = 2
$$
难度：★★☆☆☆

（6）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}
$$
利用和差化积：
$$
\sin x - \sin \alpha = 2\cos\frac{x+\alpha}{2}\sin\frac{x-\alpha}{2}
$$
于是
$$
\frac{\sin x - \sin \alpha}{x-\alpha} = \frac{2\cos\frac{x+\alpha}{2}\sin\frac{x-\alpha}{2}}{x-\alpha} = \cos\frac{x+\alpha}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x-\alpha}{2}}{\frac{x-\alpha}{2}}
$$
当 $x\to\alpha$ 时，$\frac{\sin\frac{x-\alpha}{2}}{\frac{x-\alpha}{2}} \to 1$，且 $\cos\frac{x+\alpha}{2} \to \cos\alpha$，故极限为
$$
\cos\alpha
$$
难度：★★★☆☆

（7）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)
$$
分子有理化：
$$
\frac{(x^2+x)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}
$$
当 $x\to +\infty$，分母 $\sim x + x = 2x$，所以极限为
$$
\frac{2x}{2x} = 1
$$
更严谨地：
$$
\frac{2x}{x\sqrt{1+\frac1x}+x\sqrt{1-\frac1x}} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}} \to \frac{2}{1+1}=1
$$
难度：★★★☆☆

（8）
$$
\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)}
$$
当 $x\to 0$ 时，$\ln(1+x)\sim x$，分母 $\sim x^2$。
分子用等价无穷小：$(1+u)^k -1 \sim k u$，这里 $u = -\frac12 x^2$，$k=\frac23$，所以
$$
\left(1-\frac12 x^2\right)^{\frac23} -1 \sim \frac23 \cdot \left(-\frac12 x^2\right) = -\frac13 x^2
$$
因此原极限
$$
\sim \frac{-\frac13 x^2}{x \cdot x} = -\frac13
$$
难度：★★★★☆

最终答案：
（1）$\sqrt{5}$
（2）$1$
（3）$0$
（4）$\frac12$
（5）$2$
（6）$\cos\alpha$
（7）$1$
（8）$-\frac13$