同济高数 第2章 第2-1-20题
📝 题目
20．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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设双曲线方程为
$$
xy = a^{2}, \quad (a>0)
$$
任取其上一点 $P(x_0, y_0)$，满足
$$
x_0 y_0 = a^{2}.
$$
将方程视为隐函数 $y = \frac{a^{2}}{x}$，求导得
$$
y' = -\frac{a^{2}}{x^{2}}.
$$
因此在点 $P$ 处的切线斜率为
$$
k = y'(x_0) = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}.
$$
切线方程为
$$
y - y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0).
$$
分别求该切线与两坐标轴的交点：
- 令 $x = 0$，得
$$
y - y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(-x_0) = \frac{a^{2}}{x_0},
$$
所以
$$
y = y_0 + \frac{a^{2}}{x_0} = \frac{a^{2}}{x_0} + \frac{a^{2}}{x_0} = \frac{2a^{2}}{x_0}.
$$
即与 $y$ 轴交点为 $\left(0, \displaystyle{}\frac{2a^{2}}{x_0}\right)$。
- 令 $y = 0$，得
$$
0 - y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0),
$$
即
$$
-y_0 = -\frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0) \quad\Rightarrow\quad y_0 = \frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0).
$$
代入 $y_0 = \frac{a^{2}}{x_0}$，得
$$
\frac{a^{2}}{x_0} = \frac{a^{2}}{x_0^{2}}(x - x_0) \quad\Rightarrow\quad x_0 = x - x_0,
$$
所以
$$
x = 2x_0.
$$
即与 $x$ 轴交点为 $(2x_0, 0)$。
因此切线与两坐标轴围成的直角三角形两直角边长分别为 $|2x_0|$ 与 $\left|\displaystyle{}\frac{2a^{2}}{x_0}\right|$，其面积为
$$
S = \frac{1}{2} \cdot |2x_0| \cdot \left|\frac{2a^{2}}{x_0}\right| = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2a^{2}}{|x_0|} = 2a^{2}.
$$
由于 $x_0 \neq 0$，面积恒为常数 $2a^{2}$，与点的选取无关。
难度：★★☆☆☆