同济高数 第2章 第2-1-6题
📝 题目
6．下列各题中均假定 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 $A$ 表示什么：
（1） $\displaystyle{\lim} _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=A$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，其中 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在；
（3） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{h}=A$ ．
以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
题目 6（1）
已知 $f'(x_0)$ 存在，求极限
$$
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = A
$$
令 $t = -\Delta x$，则当 $\Delta x \to 0$ 时，$t \to 0$，且
$$
\frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{-t} = -\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t}
$$
因此
$$
A = \lim_{t \to 0} \left[ -\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} \right] = -f'(x_0)
$$
所以 $A$ 表示 $-f'(x_0)$。
题目 6（2）
已知 $f(0) = 0$ 且 $f'(0)$ 存在，求
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A
$$
由导数定义：
$$
f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}
$$
因此
$$
A = f'(0)
$$
所以 $A$ 表示 $f'(0)$。
题目 6（3）
已知 $f'(x_0)$ 存在，求
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = A
$$
将分子改写为
$$
f(x_0 + h) - f(x_0 - h) = [f(x_0 + h) - f(x_0)] - [f(x_0 - h) - f(x_0)]
$$
于是
$$
\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h}
$$
对第二项令 $t = -h$，则
$$
\frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h} = \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{-t} = -\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t}
$$
因此原极限为
$$
A = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = f'(x_0) + f'(x_0) = 2f'(x_0)
$$
所以 $A$ 表示 $2f'(x_0)$。
难度评级：★☆☆☆☆
（本题仅需直接应用导数定义进行变量代换或拆分，属于基础题。）