同济高数 第2章 第2-2-2题

[AI解答]

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以下是各小题的详细求导过程：

(1)
$$
y = x^{3} + \frac{7}{x^{4}} - \frac{2}{x} + 12
$$
将分式写成幂函数形式：
$$
y = x^{3} + 7x^{-4} - 2x^{-1} + 12
$$
逐项求导：
$$
y' = 3x^{2} + 7 \cdot (-4)x^{-5} - 2 \cdot (-1)x^{-2} + 0
$$
$$
y' = 3x^{2} - 28x^{-5} + 2x^{-2}
$$
即
$$
y' = 3x^{2} - \frac{28}{x^{5}} + \frac{2}{x^{2}}
$$

(2)
$$
y = 5x^{3} - 2^{x} + 3\mathrm{e}^{x}
$$
注意 $ (a^{x})' = a^{x}\ln a $，因此
$$
y' = 15x^{2} - 2^{x}\ln 2 + 3\mathrm{e}^{x}
$$

(3)
$$
y = 2\tan x + \sec x - 1
$$
已知 $(\tan x)' = \sec^{2}x$，$(\sec x)' = \sec x \tan x$，常数导数为0，故
$$
y' = 2\sec^{2}x + \sec x \tan x
$$

(4)
$$
y = \sin x \cdot \cos x
$$
用乘法法则：
$$
y' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^{2}x - \sin^{2}x = \cos 2x
$$
也可直接用二倍角公式。

(5)
$$
y = x^{2} \ln x
$$
乘法法则：
$$
y' = 2x \cdot \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x
$$

(6)
$$
y = 3\mathrm{e}^{x} \cos x
$$
乘法法则：
$$
y' = 3\mathrm{e}^{x} \cos x + 3\mathrm{e}^{x}(-\sin x) = 3\mathrm{e}^{x}(\cos x - \sin x)
$$

(7)
$$
y = \frac{\ln x}{x}
$$
用商法则或写为 $x^{-1}\ln x$，用乘法法则：
$$
y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{\ln x}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}
$$

(8)
$$
y = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}} + \ln 3
$$
$\ln 3$ 为常数，导数为0。对第一项用商法则：
$$
y' = \frac{\mathrm{e}^{x} \cdot x^{2} - \mathrm{e}^{x} \cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x\mathrm{e}^{x}(x - 2)}{x^{4}} = \frac{\mathrm{e}^{x}(x - 2)}{x^{3}}
$$

(9)
$$
y = x^{2} \ln x \cos x
$$
三个函数相乘，用乘法法则推广：
$$
y' = (x^{2})' \ln x \cos x + x^{2} (\ln x)' \cos x + x^{2} \ln x (\cos x)'
$$
$$
= 2x \ln x \cos x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cos x + x^{2} \ln x (-\sin x)
$$
$$
= 2x \ln x \cos x + x \cos x - x^{2} \ln x \sin x
$$

(10)
$$
s = \frac{1 + \sin t}{1 + \cos t}
$$
用商法则：
$$
s' = \frac{(\cos t)(1 + \cos t) - (1 + \sin t)(-\sin t)}{(1 + \cos t)^{2}}
$$
分子展开：
$$
= \frac{\cos t + \cos^{2}t + \sin t + \sin^{2}t}{(1 + \cos t)^{2}}
$$
利用 $\sin^{2}t + \cos^{2}t = 1$：
$$
= \frac{\cos t + \sin t + 1}{(1 + \cos t)^{2}}
$$

难度：★★☆☆☆