同济高数 第2章 第2-2-6题
📝 题目
6．求下列函数的导数：
（1）$y=(2 x+5)^{4}$ ；
（2）$y=\cos (4-3 x)$ ；
（3）$y=\mathrm{e}^{-3 x^{2}}$ ；
（4）$y=\ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（5）$y=\sin ^{2} x$ ；
（6）$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ；
（7）$y=\tan x^{2}$ ；
（8）$y=\arctan \left(\mathrm{e}^{x}\right)$ ；
（9）$y=(\arcsin x)^{2}$ ；
（10）$y=\ln \cos x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的导数求解过程，均使用链式法则（复合函数求导法）。
(1) $y=(2x+5)^4$
令 $u=2x+5$，则 $y=u^4$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 2 = 8(2x+5)^3.
$$
(2) $y=\cos(4-3x)$
令 $u=4-3x$，则 $y=\cos u$。
$$
\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot (-3) = 3\sin(4-3x).
$$
(3) $y=\mathrm{e}^{-3x^2}$
令 $u=-3x^2$，则 $y=\mathrm{e}^u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \mathrm{e}^u \cdot (-6x) = -6x\,\mathrm{e}^{-3x^2}.
$$
(4) $y=\ln(1+x^2)$
令 $u=1+x^2$，则 $y=\ln u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^2}.
$$
(5) $y=\sin^2 x$
可看作 $y=(\sin x)^2$，令 $u=\sin x$，则 $y=u^2$。
$$
\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2\sin x \cos x = \sin 2x.
$$
(6) $y=\sqrt{a^2-x^2}$
写成 $y=(a^2-x^2)^{1/2}$，令 $u=a^2-x^2$，则 $y=u^{1/2}$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}.
$$
(7) $y=\tan x^2$
令 $u=x^2$，则 $y=\tan u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \sec^2 u \cdot 2x = 2x \sec^2(x^2).
$$
(8) $y=\arctan(\mathrm{e}^x)$
令 $u=\mathrm{e}^x$，则 $y=\arctan u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \mathrm{e}^x = \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{2x}}.
$$
(9) $y=(\arcsin x)^2$
令 $u=\arcsin x$，则 $y=u^2$。
$$
\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
(10) $y=\ln\cos x$
令 $u=\cos x$，则 $y=\ln u$。
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x.
$$
难度：★☆☆☆☆
（均为基本复合函数求导，直接套用链式法则即可，无复杂运算。）