同济高数 第2章 第2-2-7题

[AI解答]

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（1） $y=\arcsin (1-2x)$
令 $u=1-2x$，则 $y=\arcsin u$，
$$
y' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u' = \frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2)
$$
化简：
$$
1-(1-2x)^2 = 1-(1-4x+4x^2)=4x-4x^2=4x(1-x)
$$
所以
$$
y' = \frac{-2}{\sqrt{4x(1-x)}} = -\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}
$$

（2） $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^2)^{-1/2}$
$$
y' = -\frac12(1-x^2)^{-3/2}\cdot(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}
$$

（3） $y=\mathrm{e}^{-x/2}\cos 3x$
乘积法则：
$$
y' = \mathrm{e}^{-x/2}\cdot(-\frac12)\cos 3x + \mathrm{e}^{-x/2}\cdot(-\sin 3x)\cdot 3
$$
$$
= \mathrm{e}^{-x/2}\left(-\frac12\cos 3x - 3\sin 3x\right)
$$

（4） $\displaystyle y=\arccos\frac{1}{x}$
令 $u=1/x$，则
$$
y' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)
$$
化简：
$$
\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}
$$
所以
$$
y' = \frac{1}{x^2}\cdot\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
$$
通常 $x>1$ 或 $x<-1$，可写为
$$
y' = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \quad (\text{当 }x>1)
$$

（5） $\displaystyle y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$
商法则：
$$
y' = \frac{(-\frac1x)(1+\ln x) - (1-\ln x)(\frac1x)}{(1+\ln x)^2}
$$
分子化简：
$$
-\frac{1}{x}(1+\ln x) - \frac{1}{x}(1-\ln x) = -\frac{2}{x}
$$
所以
$$
y' = -\frac{2}{x(1+\ln x)^2}
$$

（6） $\displaystyle y=\frac{\sin 2x}{x}$
商法则：
$$
y' = \frac{2\cos 2x \cdot x - \sin 2x \cdot 1}{x^2} = \frac{2x\cos 2x - \sin 2x}{x^2}
$$

（7） $y=\arcsin \sqrt{x}$
令 $u=\sqrt{x}$，则
$$
y' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}
$$

（8） $y=\ln\left(x+\sqrt{a^2+x^2}\right)$
$$
y' = \frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)
$$
化简括号内：
$$
1+\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{\sqrt{a^2+x^2}}
$$
所以
$$
y' = \frac{1}{x+\sqrt{a^2+x^2}}\cdot\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}
$$

（9） $y=\ln(\sec x+\tan x)$
$$
y' = \frac{1}{\sec x+\tan x}\cdot(\sec x\tan x+\sec^2 x)
$$
分子提取 $\sec x$：
$$
\sec x(\tan x+\sec x)
$$
所以
$$
y' = \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} = \sec x
$$

（10） $y=\ln(\csc x-\cot x)$
$$
y' = \frac{1}{\csc x-\cot x}\cdot(-\csc x\cot x+\csc^2 x)
$$
分子提取 $\csc x$：
$$
\csc x(-\cot x+\csc x) = \csc x(\csc x-\cot x)
$$
所以
$$
y' = \csc x
$$

难度：★★☆☆☆