同济高数 第2章 第2-4-1题
📝 题目
1．求由下列方程所确定的隐函数的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ：
（1）$y^{2}-2 x y+9=0$ ；
（2）$x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ ；
（3）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ；
（4）$y=1-x \mathrm{e}^{y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的隐函数求导过程，均采用隐函数求导法，即方程两边同时对 $x$ 求导，并注意 $y$ 是 $x$ 的函数。
---
（1）$y^{2} - 2xy + 9 = 0$
两边对 $x$ 求导：
$$
\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^{2}) - 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xy) + 0 = 0}
$$
$$
2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2\left( y + x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = 0
$$
整理：
$$
2y y' - 2y - 2x y' = 0
$$
$$
(2y - 2x) y' = 2y
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y}{y - x}
$$
---
（2）$x^{3} + y^{3} - 3a x y = 0$
两边对 $x$ 求导：
$$
3x^{2} + 3y^{2} y' - 3a\left( y + x y' \right) = 0
$$
除以 3：
$$
x^{2} + y^{2} y' - a y - a x y' = 0
$$
合并含 $y'$ 的项：
$$
(y^{2} - a x) y' = a y - x^{2}
$$
因此：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x}
$$
---
（3）$x y = \mathrm{e}^{x+y}$
两边对 $x$ 求导（右边使用链式法则）：
$$
y + x y' = \mathrm{e}^{x+y} (1 + y')
$$
将 $\mathrm{e}^{x+y} = xy$ 代入：
$$
y + x y' = xy (1 + y')
$$
展开：
$$
y + x y' = xy + xy \cdot y'
$$
移项：
$$
x y' - xy \cdot y' = xy - y
$$
$$
y'(x - xy) = y(x - 1)
$$
所以：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)}
$$
---
（4）$y = 1 - x \mathrm{e}^{y}$
两边对 $x$ 求导：
$$
y' = 0 - \left( \mathrm{e}^{y} + x \mathrm{e}^{y} y' \right)
$$
即：
$$
y' = -\mathrm{e}^{y} - x \mathrm{e}^{y} y'
$$
移项：
$$
y' + x \mathrm{e}^{y} y' = -\mathrm{e}^{y}
$$
$$
y'(1 + x \mathrm{e}^{y}) = -\mathrm{e}^{y}
$$
因此：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{\mathrm{e}^{y}}{1 + x \mathrm{e}^{y}}
$$
---
难度评级：★★☆☆☆
（均为标准隐函数求导，无特殊技巧，但需注意链式法则与整理步骤）