同济高数 第3章 第3-1-11题

教材习题

📝 题目

11．证明下列不等式：
（1）$|\arctan a-\arctan b| \leqslant|a-b|$ ；
（2）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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（1）证明不等式
$$
|\arctan a - \arctan b| \leqslant |a - b|
$$

考虑函数 $ f(t) = \arctan t $，它在 $\mathbb{R}$ 上可导，且
$$
f'(t) = \frac{1}{1 + t^2}.
$$
由拉格朗日中值定理，存在介于 $a$ 与 $b$ 之间的 $\xi$，使得
$$
\arctan a - \arctan b = f'(\xi)(a - b) = \frac{1}{1 + \xi^2}(a - b).
$$
取绝对值，得
$$
|\arctan a - \arctan b| = \frac{1}{1 + \xi^2} |a - b|.
$$
由于 $\displaystyle \frac{1}{1 + \xi^2} \leqslant 1$ 对所有实数 $\xi$ 成立，故
$$
|\arctan a - \arctan b| \leqslant |a - b|.
$$
不等式得证。

（2）证明不等式
当 $x > 1$ 时，$\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e} x$。

考虑函数
$$
g(x) = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}x, \quad x > 1.
$$
求导得
$$
g'(x) = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}.
$$
当 $x > 1$ 时，$\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}$，所以 $g'(x) > 0$，即 $g(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上严格递增。
又
$$
g(1) = \mathrm{e}^{1} - \mathrm{e} \cdot 1 = 0,
$$
因此当 $x > 1$ 时，有
$$
g(x) > g(1) = 0,
$$
即
$$
\mathrm{e}^{x} > \mathrm{e}x.
$$
不等式得证。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：证明不等式 |arctan a - arctan b| ≤ |a - b|
考虑函数 f(t)=arctan t，在 R 上可导，f'(t)=1/(1+t^2)。由拉格朗日中值定理，存在 ξ 介于 a 与 b 之间，使得 arctan a - arctan b = f'(ξ)(a-b) = (a-b)/(1+ξ^2)。取绝对值，得 |arctan a - arctan b| = |a-b|/(1+ξ^2)。由于 1/(1+ξ^2) ≤ 1，故 |arctan a - arctan b| ≤ |a-b|。
公式：f'(t)=1/(1+t^2); 拉格朗日中值定理; 1/(1+ξ^2) ≤ 1
提示：利用拉格朗日中值定理将函数差转化为导数与自变量差的乘积，再放缩导数绝对值。
步骤 2/2
目标：证明当 x>1 时，e^x > e x
考虑函数 g(x)=e^x - e x，x>1。求导得 g'(x)=e^x - e。当 x>1 时，e^x > e，所以 g'(x)>0，g(x) 在 (1,+∞) 上严格递增。又 g(1)=e - e=0，因此当 x>1 时，g(x)>0，即 e^x > e x。
公式：g'(x)=e^x - e; g(1)=0
提示：构造函数并利用单调性证明不等式。

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