同济高数 第3章 第3-1-2题
📝 题目
2．验证拉格朗日中值定理对函数 $y=4 x^{3}-5 x^{2}+x-2$ 在区间 $[0,1]$ 上的正确性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要验证拉格朗日中值定理对函数
$$
y = 4x^{3} - 5x^{2} + x - 2
$$
在区间 $[0,1]$ 上的正确性，需验证存在一点 $\xi \in (0,1)$，使得
$$
f'(\xi) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0}.
$$
第一步：计算端点函数值
$$
f(0) = 4\cdot 0^{3} - 5\cdot 0^{2} + 0 - 2 = -2,
$$
$$
f(1) = 4\cdot 1^{3} - 5\cdot 1^{2} + 1 - 2 = 4 - 5 + 1 - 2 = -2.
$$
于是
$$
\frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{-2 - (-2)}{1} = 0.
$$
第二步：求导数并令其等于0
$$
f'(x) = 12x^{2} - 10x + 1.
$$
令
$$
12x^{2} - 10x + 1 = 0,
$$
解二次方程：
$$
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{24} = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{24} = \frac{10 \pm 2\sqrt{13}}{24} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{12}.
$$
**第三步：验证根是否在区间 $(0,1)$ 内**
由于
$$
\sqrt{13} \approx 3.6055,
$$
两个根为
$$
\xi_1 = \frac{5 - 3.6055}{12} \approx \frac{1.3945}{12} \approx 0.1162,
$$
$$
\xi_2 = \frac{5 + 3.6055}{12} \approx \frac{8.6055}{12} \approx 0.7171.
$$
二者均在 $(0,1)$ 内，因此存在满足条件的 $\xi$，拉格朗日中值定理成立。
结论：函数在 $[0,1]$ 上连续、可导，且存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f'(\xi)=0$，定理验证正确。
难度：★☆☆☆☆