同济高数 第3章 第3-1-6题
📝 题目
6．证明恒等式： $\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明恒等式
$$
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad -1 \leqslant x \leqslant 1,
$$
我们采用导数法，即证明左边函数为常数，再代入特殊值确定该常数。
步骤1：定义函数
令
$$
f(x) = \arcsin x + \arccos x, \quad x \in [-1, 1].
$$
步骤2：求导数
由基本导数公式：
$$
\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
$$
因此
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 0.
$$
步骤3：说明函数为常数
由于在开区间 $(-1, 1)$ 上 $f'(x) = 0$，且函数在闭区间 $[-1, 1]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上为常数。
步骤4：确定常数
取一个方便计算的点，例如 $x = 0$：
$$
\arcsin 0 = 0, \quad \arccos 0 = \frac{\pi}{2},
$$
所以
$$
f(0) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.
$$
因此对任意 $x \in [-1, 1]$，有
$$
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.
$$
证毕。
难度：★☆☆☆☆