同济高数 第3章 第3-1-7题

教材习题

📝 题目

7．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=$ 0 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们已知方程
$$
a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x = 0
$$
有一个正根 $x = x_{0}$，即
$$
a_{0} x_{0}^{n} + a_{1} x_{0}^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x_{0} = 0.
$$
显然 $x=0$ 也是该方程的一个根，因为代入 $x=0$ 得左边为 0。
于是原方程有两个根：$0$ 和 $x_{0}>0$。

考虑函数
$$
f(x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x.
$$
$f(x)$ 在 $[0, x_{0}]$ 上连续，在 $(0, x_{0})$ 内可导，且
$$
f(0) = 0, \quad f(x_{0}) = 0.
$$
由罗尔定理（Rolle’s Theorem），存在一点 $\xi \in (0, x_{0})$，使得
$$
f'(\xi) = 0.
$$
而
$$
f'(x) = a_{0} n x^{n-1} + a_{1} (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}.
$$
因此存在 $\xi \in (0, x_{0})$ 满足
$$
a_{0} n \xi^{n-1} + a_{1} (n-1) \xi^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0,
$$
即方程
$$
a_{0} n x^{n-1} + a_{1} (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0
$$
有一个小于 $x_{0}$ 的正根 $\xi$。证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：明确已知条件
已知方程 $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x = 0$ 有一个正根 $x = x_0$，即 $a_0 x_0^n + a_1 x_0^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x_0 = 0$。同时，$x=0$ 也是该方程的一个根，因为代入 $x=0$ 得左边为0。
公式：$a_0 x_0^n + a_1 x_0^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x_0 = 0$
提示：注意原方程常数项为0，因此0是根。
步骤 2/3
目标：构造函数并应用罗尔定理
考虑函数 $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x$。$f(x)$ 在 $[0, x_0]$ 上连续，在 $(0, x_0)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(x_0)=0$。由罗尔定理，存在一点 $\xi \in (0, x_0)$，使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。
提示：验证函数满足罗尔定理的条件：连续、可导、端点值相等。
步骤 3/3
目标：计算导数并得出结论
计算 $f'(x) = a_0 n x^{n-1} + a_1 (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$。由 $f'(\xi)=0$ 得 $a_0 n \xi^{n-1} + a_1 (n-1) \xi^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0$，即 $\xi$ 是方程 $a_0 n x^{n-1} + a_1 (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} = 0$ 的一个小于 $x_0$ 的正根。
公式：$f'(x) = a_0 n x^{n-1} + a_1 (n-1) x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$
提示：注意导数中各项系数的变化：原系数乘以指数。

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