同济高数 第3章 第3-1-*13题
📝 题目
＊13．设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使
$$
\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f^{\prime}(\xi) \\
g(a) & g^{\prime}(\xi)
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
证明
我们考虑构造辅助函数
$$
F(x) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(x) \\
g(a) & g(x)
\end{vmatrix}
= f(a)g(x) - g(a)f(x).
$$
显然，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且
$$
F(a) = f(a)g(a) - g(a)f(a) = 0,
$$
$$
F(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = \begin{vmatrix}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{vmatrix}.
$$
对 $F(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
$$
F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a).
$$
由于 $F(a)=0$，因此
$$
F(b) = (b-a)F'(\xi).
$$
计算导数：
$$
F'(x) = f(a)g'(x) - g(a)f'(x) = \begin{vmatrix}
f(a) & f'(x) \\
g(a) & g'(x)
\end{vmatrix}.
$$
代入 $\xi$ 得
$$
F'(\xi) = \begin{vmatrix}
f(a) & f'(\xi) \\
g(a) & g'(\xi)
\end{vmatrix}.
$$
于是
$$
\begin{vmatrix}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{vmatrix}
= (b-a) \begin{vmatrix}
f(a) & f'(\xi) \\
g(a) & g'(\xi)
\end{vmatrix},
$$
证毕。
难度：★★☆☆☆