同济高数 第3章 第3-2-1题

[AI解答]

[AI解答]

以下是用洛必达法则求各极限的完整步骤。

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（1）
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}
$$
此为 $\frac{0}{0}$ 型，用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = 1
$$

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（2）
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1+1}{1} = 2
$$

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（3）
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x}
$$
仍为 $\frac{0}{0}$，再洛必达：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{\sin x}
$$
注意 $\sec^2 x \to 1$，且 $\frac{\tan x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} \to 1$，故极限为：
$$
2 \cdot 1 \cdot 1 = 2
$$

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（4）
题目可能有误，应为：
$$
\lim_{x \to \pi} \frac{\sin 3x}{\tan 5x}
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to \pi} \frac{3\cos 3x}{5\sec^2 5x} = \frac{3 \cdot (-1)}{5 \cdot 1} = -\frac{3}{5}
$$

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（5）
$$
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln \sin x}{(\pi - 2x)^2}
$$
令 $t = \frac{\pi}{2} - x \to 0$，则 $\sin x = \cos t$，$\ln \sin x \sim \ln(1 - \frac{t^2}{2}) \sim -\frac{t^2}{2}$，分母为 $(2t)^2 = 4t^2$，故极限：
$$
\frac{-\frac{1}{2}t^2}{4t^2} = -\frac{1}{8}
$$

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（6）
$$
\lim_{x \to a} \frac{x^m - a^m}{x^n - a^n}, \quad a \neq 0
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to a} \frac{m x^{m-1}}{n x^{n-1}} = \frac{m}{n} a^{m-n}
$$

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（7）
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln \tan 7x}{\ln \tan 2x}
$$
$\frac{-\infty}{-\infty}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{7 \sec^2 7x}{\tan 7x}}{\frac{2 \sec^2 2x}{\tan 2x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{7 \cdot \frac{1}{\sin 7x \cos 7x}}{2 \cdot \frac{1}{\sin 2x \cos 2x}}
$$
利用 $\sin \theta \sim \theta$，$\cos \theta \to 1$，得：
$$
\frac{7}{2} \cdot \frac{2x}{7x} = 1
$$

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（8）
$$
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3x}
$$
令 $t = \frac{\pi}{2} - x \to 0$，则 $\tan x = \cot t \sim \frac{1}{t}$，$\tan 3x = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - 3t\right) = \cot 3t \sim \frac{1}{3t}$，故极限：
$$
\frac{1/t}{1/(3t)} = 3
$$

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（9）
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arccot} x}
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{x(x+1)}}{-\frac{1}{1+x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^2}{x(x+1)} = 1
$$

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（10）
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{\sec x - \cos x}
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1+x^2}}{\sec x \tan x + \sin x}
$$
当 $x \to 0$，分子 $\sim 2x$，分母中 $\sec x \tan x \sim x$，$\sin x \sim x$，故分母 $\sim 2x$，极限为：
$$
1
$$

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（11）
$$
\lim_{x \to 0} x \cot 2x = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan 2x}
$$
$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{2\sec^2 2x} = \frac{1}{2}
$$

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（12）
$$
\lim_{x \to 0} x^2 e^{\frac{1}{x^2}}
$$
令 $t = \frac{1}{x^2} \to +\infty$，则原式 $= \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t} = +\infty$

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（13）
$$
\lim_{x \to 1} \left( \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} \right)
$$
通分：
$$
\frac{2 - (x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1-x}{(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x+1} \to -\frac{1}{2}
$$

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（14）
$$
\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}
$$
取对数：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x + x)}{x}$，$\frac{0}{0}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{e^x + x} = 2
$$
故原极限为 $e^2$

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（15）
$$
\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}
$$
取对数：$\lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x$，$\sin x \sim x$，故为 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$，原极限为 $e^0 = 1$

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（16）
$$
\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} \right)^{\tan x}
$$
取对数：$\lim_{x \to 0^+} \tan x \ln(1/x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\ln x}{\cot x}$，$\frac{\infty}{\infty}$ 型，洛必达：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{-1/x}{-\csc^2 x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2 x}{x} = 0
$$
故原极限为 $e^0 = 1$

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难度评级：★★☆☆☆
大部分为直接或一次洛必达即可解决，少数需变形或多次求导，但整体思路常规。