同济高数 第3章 第3-2-2题
📝 题目
2．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们验证极限
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}
$$
存在，并说明为何不能直接用洛必达法则。
第一步：直接计算极限
将表达式改写为
$$
\frac{x + \sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x}.
$$
由于对任意实数 $x$ 有 $|\sin x| \le 1$，因此
$$
\left|\frac{\sin x}{x}\right| \le \frac{1}{x}.
$$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，由夹逼定理得
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0.
$$
因此
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = 1 + 0 = 1.
$$
极限存在且等于 1。
第二步：说明为何不能用洛必达法则
洛必达法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，且要求分子分母分别求导后的极限存在（或为无穷大）。
本题当 $x \to \infty$ 时，分子 $x + \sin x \to \infty$，分母 $x \to \infty$，形式上属于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。
但若对分子分母分别求导，得
$$
\frac{(x + \sin x)'}{x'} = \frac{1 + \cos x}{1} = 1 + \cos x.
$$
而 $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} (1 + \cos x)}$ 不存在（因为 $\cos x$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡），不满足洛必达法则中“导数之比的极限存在”的条件，因此不能使用洛必达法则。
结论：极限存在且为 1，但不能用洛必达法则得出。
难度：★☆☆☆☆