同济高数 第3章 第3-2-3题
📝 题目
3．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要验证极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}
$$
存在，并说明不能直接用洛必达法则得出。
第一步：分析极限的存在性
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此原式可改写为
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}
= \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}
= \lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{1}{x} \right) \cdot \frac{x}{\sin x}.
$$
由于
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1,
$$
而
$$
\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0,
$$
这是因为 $|\sin(1/x)| \leq 1$，所以 $x \sin(1/x)$ 被 $|x|$ 控制，趋于 0。
因此原极限为
$$
0 \cdot 1 = 0.
$$
极限存在且等于 0。
第二步：说明不能用洛必达法则
洛必达法则要求分子分母在 $x \to 0$ 时同时趋于 0 或同时趋于无穷，且导数之比的极限存在（或为无穷大）。
这里分子为 $f(x) = x^{2} \sin(1/x)$，分母为 $g(x) = \sin x$。
当 $x \to 0$ 时，$f(x) \to 0$，$g(x) \to 0$，满足 $0/0$ 型条件。
但考虑导数：
$$
f'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x},
$$
$$
g'(x) = \cos x.
$$
当 $x \to 0$ 时，$\cos(1/x)$ 振荡无极限，因此
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
= \lim_{x \to 0} \frac{2x \sin(1/x) - \cos(1/x)}{\cos x}
$$
不存在（因为 $\cos(1/x)$ 振荡），不满足洛必达法则的使用条件，故不能用洛必达法则得出该极限。
因此，极限存在，但不能用洛必达法则求得。
难度：★★☆☆☆