同济高数 第3章 第3-2-*4题
📝 题目
＊4．讨论函数
$$
f(x)= \begin{cases}{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}},} & x\gt 0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leqslant 0\end{cases}
$$
在点 $x=0$ 处的连续性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们讨论函数
$$
f(x)= \begin{cases}
\displaystyle{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}}}, & x>0, \$$1em]
\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leqslant 0
\end{cases}
$$
在 $x=0$ 处的连续性，即需要验证
$$
\lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0) = \mathrm{e}^{-\frac12}.
$$
**步骤1：将 $x>0$ 时的表达式取对数**
设
$$
y(x) = \left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}}, \quad x>0.
$$
取自然对数：
$$
\ln y(x) = \frac{1}{x}\left[ \frac{1}{x}\ln(1+x) - 1 \right]
= \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}.
$$
**步骤2：计算 $x\to 0^+$ 时的极限**
利用 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开：
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
$$
于是
$$
\ln(1+x) - x = -\frac{x^2}{2} + O(x^3).
$$
因此
$$
\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}
= \lim_{x\to 0^+} \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2}
= -\frac12.
$$
**步骤3：还原为 $f(x)$ 的极限**
由对数极限得
$$
\lim_{x\to 0^+} \ln y(x) = -\frac12,
$$
所以
$$
\lim_{x\to 0^+} f(x) = \mathrm{e}^{-\frac12}.
$$
步骤4：与左极限及函数值比较
当 $x \le 0$ 时，$f(x)=\mathrm{e}^{-1/2}$，故
$$
\lim_{x\to 0^-} f(x) = \mathrm{e}^{-1/2}, \quad f(0)=\mathrm{e}^{-1/2}.
$$
因此
$$
\lim_{x\to 0} f(x) = f(0),
$$
函数在 $x=0$ 处连续。
结论：函数在 $x=0$ 处连续。
难度：★★☆☆☆