同济高数 第3章 第3-4-10题
📝 题目
10．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：
（1）$y=x^{3}-5 x^{2}+3 x+5$ ；
（2）$y=x e^{-x}$ ；
（3）$y=(x+1)^{4}+\mathrm{e}^{x}$ ；
（4）$y=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ；
（5）$y=\mathrm{e}^{\arctan x}$ ；
（6）$y=x^{4}(12 \ln x-7)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐一求解各函数的二阶导数，找出二阶导数为零或不存在的点，并判断凹凸区间及拐点。
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（1）$ y = x^{3} - 5x^{2} + 3x + 5 $
一阶导数：
$$
y' = 3x^{2} - 10x + 3
$$
二阶导数：
$$
y'' = 6x - 10
$$
令 $ y'' = 0 $：
$$
6x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{3}
$$
无二阶导数不存在的点。
- 当 $ x < \frac{5}{3} $ 时，$ y'' < 0 $，曲线是凸的（上凸）。
- 当 $ x > \frac{5}{3} $ 时，$ y'' > 0 $，曲线是凹的（下凸）。
拐点：
$$
x = \frac{5}{3},\quad y\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{125}{27} - \frac{125}{9} + 5 + 5 = \frac{125 - 375}{27} + 10 = \frac{-250}{27} + \frac{270}{27} = \frac{20}{27}
$$
所以拐点为 $\left( \frac{5}{3}, \frac{20}{27} \right)$。
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（2）$ y = x e^{-x} $
一阶导数：
$$
y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)
$$
二阶导数：
$$
y'' = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} = e^{-x}(-1 + x - 1) = e^{-x}(x - 2)
$$
令 $ y'' = 0 $：
$$
x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2
$$
- 当 $ x < 2 $ 时，$ y'' < 0 $，凸。
- 当 $ x > 2 $ 时，$ y'' > 0 $，凹。
拐点：
$$
y(2) = 2 e^{-2}
$$
拐点 $(2, 2e^{-2})$。
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（3）$ y = (x+1)^{4} + e^{x} $
一阶导数：
$$
y' = 4(x+1)^{3} + e^{x}
$$
二阶导数：
$$
y'' = 12(x+1)^{2} + e^{x}
$$
由于 $ 12(x+1)^{2} \ge 0 $，$ e^{x} > 0 $，所以 $ y'' > 0 $ 恒成立。
因此曲线在 $ (-\infty, +\infty) $ 上总是凹的，无拐点。
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（4）$ y = \ln(x^{2} + 1) $
一阶导数：
$$
y' = \frac{2x}{x^{2} + 1}
$$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{2(x^{2}+1) - 2x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x^{2} + 2 - 4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2 - 2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2(1 - x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}
$$
令 $ y'' = 0 $：
$$
1 - x^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1
$$
- 当 $ x < -1 $ 时，$ y'' < 0 $，凸；
- 当 $ -1 < x < 1 $ 时，$ y'' > 0 $，凹；
- 当 $ x > 1 $ 时，$ y'' < 0 $，凸。
拐点：
$$
y(\pm 1) = \ln(1+1) = \ln 2
$$
拐点为 $(-1, \ln 2)$ 和 $(1, \ln 2)$。
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（5）$ y = e^{\arctan x} $
一阶导数：
$$
y' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}
$$
二阶导数：
$$
y'' = e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} + e^{\arctan x} \cdot \frac{-2x}{(1+x^{2})^{2}}
$$
$$
= e^{\arctan x} \cdot \frac{1 - 2x}{(1+x^{2})^{2}}
$$
令 $ y'' = 0 $：
$$
1 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2}
$$
- 当 $ x < \frac{1}{2} $ 时，$ y'' > 0 $，凹；
- 当 $ x > \frac{1}{2} $ 时，$ y'' < 0 $，凸。
拐点：
$$
y\left(\frac{1}{2}\right) = e^{\arctan \frac{1}{2}}
$$
拐点 $\left( \frac{1}{2}, e^{\arctan \frac{1}{2}} \right)$。
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（6）$ y = x^{4}(12\ln x - 7) $，定义域 $ x > 0 $
先化简：
$$
y = 12 x^{4} \ln x - 7 x^{4}
$$
一阶导数：
$$
y' = 12\left(4x^{3}\ln x + x^{4}\cdot\frac{1}{x}\right) - 28 x^{3} = 12(4x^{3}\ln x + x^{3}) - 28x^{3}
$$
$$
= 48 x^{3} \ln x + 12 x^{3} - 28 x^{3} = 48 x^{3} \ln x - 16 x^{3}
$$
二阶导数：
$$
y'' = 48\left(3x^{2}\ln x + x^{3}\cdot\frac{1}{x}\right) - 48 x^{2}
$$
$$
= 48(3x^{2}\ln x + x^{2}) - 48 x^{2} = 144 x^{2} \ln x + 48 x^{2} - 48 x^{2} = 144 x^{2} \ln x
$$
令 $ y'' = 0 $：
$$
144 x^{2} \ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad \ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1
$$
- 当 $ 0 < x < 1 $ 时，$\ln x < 0$，所以 $ y'' < 0 $，凸；
- 当 $ x > 1 $ 时，$\ln x > 0$，所以 $ y'' > 0 $，凹。
拐点：
$$
y(1) = 1^{4}(12\cdot 0 - 7) = -7
$$
拐点为 $(1, -7)$。
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考查二阶导数符号判断，计算量不大，但需注意定义域及指数、对数函数的求导细节。）