同济高数 第3章 第3-4-15题

[AI解答]

[AI解答]
已知函数
$$
y = k (x^2 - 3)^2
$$
首先求一阶导数和二阶导数，以确定拐点位置。

令
$$
y' = k \cdot 2(x^2 - 3) \cdot 2x = 4k x (x^2 - 3)
$$
再求二阶导：
$$
y'' = 4k \left[ (x^2 - 3) + x \cdot 2x \right] = 4k \left( x^2 - 3 + 2x^2 \right) = 4k (3x^2 - 3) = 12k (x^2 - 1)
$$

令 $y'' = 0$ 得
$$
12k (x^2 - 1) = 0
$$
若 $k \neq 0$，则
$$
x^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 1
$$
检查符号变化：当 $x<-1$ 时 $x^2-1>0$，$-11$ 时 $x^2-1>0$，因此 $x=\pm 1$ 处确实为拐点。

拐点坐标为：
$$
x=1 \Rightarrow y = k(1-3)^2 = k \cdot 4 = 4k
$$
$$
x=-1 \Rightarrow y = k(1-3)^2 = 4k
$$
所以两个拐点为 $(1, 4k)$ 和 $(-1, 4k)$。

在拐点处法线通过原点，即法线斜率为 $\frac{y-0}{x-0} = \frac{y}{x}$。
法线与切线垂直，切线斜率为 $y'(1)$ 或 $y'(-1)$。

计算切线斜率：
$$
y'(1) = 4k \cdot 1 \cdot (1-3) = 4k \cdot (-2) = -8k
$$
$$
y'(-1) = 4k \cdot (-1) \cdot (1-3) = 4k \cdot (-1) \cdot (-2) = 8k
$$

法线斜率应为切线斜率的负倒数：
对于 $(1,4k)$，法线斜率为
$$
\frac{1}{8k}
$$
但法线过原点，斜率也可表示为 $\frac{4k}{1} = 4k$，因此
$$
4k = \frac{1}{8k} \quad\Rightarrow\quad 32k^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}}
$$

对于 $(-1,4k)$，法线斜率为
$$
-\frac{1}{8k}
$$
而由原点连线斜率为 $\frac{4k}{-1} = -4k$，得
$$
-4k = -\frac{1}{8k} \quad\Rightarrow\quad 4k = \frac{1}{8k} \quad\Rightarrow\quad 32k^2 = 1
$$
同样得到
$$
k = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}}
$$

因此 $k$ 的值为
$$
\boxed{k = \pm \frac{1}{4\sqrt{2}}}
$$

难度：★★☆☆☆