同济高数 第3章 第3-5-1题

[AI解答]

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我们逐一求极值，使用导数法（一阶导数为零，二阶导数或一阶导数符号变化判定极值类型）。

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（1）$y=2x^{3}-6x^{2}-18x+7$

求导：
$$
y' = 6x^{2} - 12x - 18 = 6(x^{2} - 2x - 3) = 6(x-3)(x+1)
$$
令 $y'=0$ 得 $x=-1$ 或 $x=3$。

二阶导：
$$
y'' = 12x - 12
$$
- 当 $x=-1$，$y''=-24<0$，极大值，$y(-1)=2(-1)-6(1)-18(-1)+7 = -2-6+18+7=17$
- 当 $x=3$，$y''=24>0$，极小值，$y(3)=54-54-54+7=-47$

极值：极大值 $17$ 于 $x=-1$，极小值 $-47$ 于 $x=3$。

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（2）$y=x-\ln(1+x)$

定义域 $x>-1$。
求导：
$$
y' = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}
$$
令 $y'=0$ 得 $x=0$。

二阶导：
$$
y'' = \frac{1}{(1+x)^2} > 0
$$
故 $x=0$ 为极小值点，$y(0)=0$。

极小值 $0$。

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（3）$y=-x^{4}+2x^{2}$

求导：
$$
y' = -4x^{3} + 4x = 4x(1 - x^{2}) = 4x(1-x)(1+x)
$$
令 $y'=0$ 得 $x=0,\pm1$。

二阶导：
$$
y'' = -12x^{2} + 4
$$
- $x=0$：$y''=4>0$，极小值，$y(0)=0$
- $x=1$：$y''=-8<0$，极大值，$y(1)= -1+2=1$
- $x=-1$：$y''=-8<0$，极大值，$y(-1)=1$

极大值 $1$（在 $x=\pm1$），极小值 $0$（在 $x=0$）。

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（4）$y=x+\sqrt{1-x}$

定义域 $x\le 1$。
求导：
$$
y' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}
$$
令 $y'=0$ 得：
$$
1 = \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \Rightarrow \sqrt{1-x} = \frac12 \Rightarrow 1-x = \frac14 \Rightarrow x = \frac34
$$
二阶导：
$$
y'' = -\frac{1}{4(1-x)^{3/2}} < 0
$$
故极大值，$\displaystyle y\left(\frac34\right)=\frac34 + \frac12 = \frac54$。

极大值 $\displaystyle \frac54$。

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（5）$\displaystyle y=\frac{1+3x}{\sqrt{4+5x^{2}}}$

求导（商或乘积求导）：
$$
y' = \frac{3\sqrt{4+5x^{2}} - (1+3x)\cdot \frac{5x}{\sqrt{4+5x^{2}}}}{4+5x^{2}}
= \frac{3(4+5x^{2}) - 5x(1+3x)}{(4+5x^{2})^{3/2}}
$$
分子化简：
$$
12+15x^{2} -5x -15x^{2} = 12 - 5x
$$
令 $y'=0$ 得 $\displaystyle x=\frac{12}{5}$。

二阶导较繁，但一阶导数符号变化：
当 $\displaystyle x<\frac{12}{5}$，分子正；$\displaystyle x>\frac{12}{5}$，分子负，故为极大值点。
$\displaystyle y\left(\frac{12}{5}\right) = \frac{1+ \frac{36}{5}}{\sqrt{4+5\cdot\frac{144}{25}}} = \frac{\frac{41}{5}}{\sqrt{4+\frac{144}{5}}} = \frac{41/5}{\sqrt{\frac{164}{5}}} = \frac{41}{5}\cdot\sqrt{\frac{5}{164}} = \frac{41}{\sqrt{820}} = \frac{41}{2\sqrt{205}}$

极大值 $\displaystyle \frac{41}{2\sqrt{205}}$。

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（6）$\displaystyle y=\frac{3x^{2}+4x+4}{x^{2}+x+1}$

定义域全体实数（分母恒正）。
求导：
$$
y' = \frac{(6x+4)(x^{2}+x+1) - (3x^{2}+4x+4)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}
$$
分子展开：
第一项：$(6x+4)(x^{2}+x+1)=6x^{3}+6x^{2}+6x+4x^{2}+4x+4=6x^{3}+10x^{2}+10x+4$
第二项：$(3x^{2}+4x+4)(2x+1)=6x^{3}+3x^{2}+8x^{2}+4x+8x+4=6x^{3}+11x^{2}+12x+4$
相减得：$(6x^{3}+10x^{2}+10x+4) - (6x^{3}+11x^{2}+12x+4) = -x^{2} -2x$

令 $-x^{2}-2x=0 \Rightarrow -x(x+2)=0$，得 $x=0$ 或 $x=-2$。

二阶导或一阶导符号：
- $x=-2$：$\displaystyle y(-2)=\frac{12-8+4}{4-2+1}=\frac{8}{3}$，极大
- $x=0$：$y(0)=4$，极小

极大值 $\displaystyle \frac{8}{3}$，极小值 $4$。

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（7）$y=e^{x}\cos x$

求导：
$$
y' = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x = e^{x}(\cos x - \sin x)
$$
令 $y'=0$ 得 $\displaystyle \cos x = \sin x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}+k\pi$。

二阶导：
$$
y'' = e^{x}(\cos x - \sin x) + e^{x}(-\sin x - \cos x) = -2e^{x}\sin x
$$
- 当 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$，$\sin x>0$，$y''<0$，极大
- 当 $\displaystyle x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$，$\sin x<0$，$y''>0$，极小

极大值 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{\pi}{4}+2k\pi}$，极小值 $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{5\pi}{4}+2k\pi}$。

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（8）$y=x^{1/x}$

定义域 $x>0$。取对数：
$$
\ln y = \frac{\ln x}{x}
$$
求导：
$$
\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} \Rightarrow y' = x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^{2}}
$$
令 $y'=0$ 得 $\ln x = 1 \Rightarrow x=e$。

二阶导符号：当 $x0$，$y'>0$；$x>e$，$y'<0$，故极大值。
$y(e)=e^{1/e}$。

极大值 $e^{1/e}$。

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（9）$y=3-2(x+1)^{1/3}$

定义域全体实数。
求导：
$$
y' = -\frac{2}{3}(x+1)^{-2/3}
$$
导数永不为零，但在 $x=-1$ 处导数不存在（分母为零）。
检查 $x=-1$ 左右：
- $x<-1$，$(x+1)^{-2/3}>0$，$y'<0$
- $x>-1$