同济高数 第3章 第3-5-11题
📝 题目
11．要造一圆柱形油罐，体积为 $V$ ，问底半径 $r$ 和高 $h$ 各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设圆柱形油罐的体积为 $V$，则体积公式为
$$
V = \pi r^2 h
$$
表面积包括两个底面与侧面，即
$$
S = 2\pi r^2 + 2\pi r h
$$
由体积公式解出 $h$：
$$
h = \frac{V}{\pi r^2}
$$
代入表面积表达式：
$$
S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2}
= 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}
$$
问题转化为求 $S(r)$ 在 $r>0$ 时的最小值。对 $r$ 求导：
$$
\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}
$$
令导数为零：
$$
4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0
\quad\Rightarrow\quad
4\pi r^3 = 2V
\quad\Rightarrow\quad
r^3 = \frac{V}{2\pi}
$$
因此
$$
r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}
$$
对应的
$$
h = \frac{V}{\pi r^2}
= \frac{V}{\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}}
= \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{2\pi}{V}\right)^{2/3}
= \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} \cdot (2\pi)^{2/3}
= 2^{2/3} \cdot \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3}
$$
也可以化简为
$$
h = \frac{2V}{4\pi r^2}?
$$
更直接地，由 $4\pi r^3 = 2V$ 且 $V = \pi r^2 h$，代入得
$$
4\pi r^3 = 2\pi r^2 h \quad\Rightarrow\quad 2r = h
$$
所以此时高等于直径，即
$$
h = 2r
$$
因此底直径与高的比为
$$
\frac{2r}{h} = \frac{2r}{2r} = 1
$$
即底直径与高相等。
结论：当 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$，$h = 2r$ 时表面积最小，此时底直径与高的比为 $1:1$。
难度：★★☆☆☆