同济高数 第3章 第3-5-12题
📝 题目
12．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（图3－19）．截面的面积为 $5 \mathrm{~m}^{2}$ 。问底宽 $x$ 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
💡 答案解析
[AI解答]
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设矩形部分的高为 $h$，半圆的半径即为底宽的一半，即 $r = \frac{x}{2}$。
截面总面积由矩形面积和半圆面积组成：
$$
\text{面积} = x h + \frac{1}{2} \pi r^2 = x h + \frac{1}{2} \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2
= x h + \frac{\pi x^2}{8}
$$
已知总面积 $S = 5$，所以有：
$$
x h + \frac{\pi x^2}{8} = 5
$$
解得：
$$
h = \frac{5}{x} - \frac{\pi x}{8}
$$
截面的周长（即外缘长度）由矩形两边（两个高）和半圆弧长组成，注意底部宽度 $x$ 是地面，不算在周长中（因为防空洞靠墙），所以：
$$
L = 2h + \pi r = 2h + \pi \cdot \frac{x}{2}
$$
代入 $h$：
$$
L(x) = 2\left( \frac{5}{x} - \frac{\pi x}{8} \right) + \frac{\pi x}{2}
= \frac{10}{x} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2}
$$
合并含 $x$ 的项：
$$
- \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi x}{4}
$$
所以：
$$
L(x) = \frac{10}{x} + \frac{\pi x}{4}
$$
为求最小值，对 $L(x)$ 求导：
$$
L'(x) = -\frac{10}{x^2} + \frac{\pi}{4}
$$
令导数为零：
$$
-\frac{10}{x^2} + \frac{\pi}{4} = 0
$$
$$
\frac{\pi}{4} = \frac{10}{x^2}
$$
$$
x^2 = \frac{40}{\pi}
$$
$$
x = \sqrt{\frac{40}{\pi}} = 2\sqrt{\frac{10}{\pi}}
$$
由于 $x>0$，且二阶导数：
$$
L''(x) = \frac{20}{x^3} > 0
$$
所以该点为极小值点，即周长最小点。
因此，底宽为：
$$
\boxed{x = 2\sqrt{\frac{10}{\pi}} \ \mathrm{m}}
$$
难度：★★☆☆☆