同济高数 第3章 第3-5-14题

[AI解答]

[AI解答]

第一步：建立模型
设杠杆长度为 $x$ 米，支点在左端，右端施加力 $F$（方向竖直向下）。
在距支点 0.1 m 处挂有质量 49 kg 的物体，其重力为 $49g$（$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$）。
杠杆本身线密度 $5\,\mathrm{kg/m}$，则总质量 $5x$，重心位于距支点 $\frac{x}{2}$ 处，重力为 $5gx$。

第二步：力矩平衡
以支点为矩心，顺时针力矩由重物和杠杆自重产生，逆时针力矩由力 $F$ 产生。
平衡条件（力矩代数和为零）：
$$
F \cdot x = 49g \cdot 0.1 + (5gx) \cdot \frac{x}{2}
$$
即
$$
F x = 4.9g + \frac{5g}{2}x^2
$$

第三步：求最省力的杆长
最省力即 $F$ 最小，由上式得
$$
F = \frac{4.9g}{x} + \frac{5g}{2}x
$$
将 $F$ 视为 $x>0$ 的函数，求其最小值。
对 $x$ 求导：
$$
\frac{dF}{dx} = -\frac{4.9g}{x^2} + \frac{5g}{2}
$$
令导数为零：
$$
-\frac{4.9g}{x^2} + \frac{5g}{2} = 0
$$
约去 $g$：
$$
\frac{5}{2} = \frac{4.9}{x^2}
$$
解得
$$
x^2 = \frac{4.9 \times 2}{5} = \frac{9.8}{5} = 1.96
$$
因此
$$
x = \sqrt{1.96} = 1.4 \quad (\text{米})
$$

第四步：验证极值类型
二阶导数：
$$
\frac{d^2F}{dx^2} = \frac{2 \times 4.9g}{x^3} > 0
$$
故为极小值点。

结论：最省力的杆长为 $1.4$ 米。

难度：★★☆☆☆