同济高数 第3章 第3-5-15题

[AI解答]

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步骤1：建立漏斗的几何模型

将半径为 $R$ 的圆铁片剪去一个扇形后，留下的扇形圆心角为 $\varphi$（弧度）。将这个扇形卷成一个圆锥形漏斗，扇形的半径 $R$ 成为圆锥的母线长 $l = R$，扇形的弧长 $L = R\varphi$ 成为圆锥底面的周长。

设圆锥底面半径为 $r$，则有：
$$
2\pi r = R\varphi \quad\Rightarrow\quad r = \frac{R\varphi}{2\pi}.
$$

圆锥的高 $h$ 由母线 $R$ 和底面半径 $r$ 通过勾股定理得到：
$$
h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R\varphi}{2\pi}\right)^2}
= R\sqrt{1 - \frac{\varphi^2}{4\pi^2}}.
$$

步骤2：写出漏斗容积表达式

圆锥的体积公式为 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$，代入 $r$ 和 $h$：
$$
V(\varphi) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R\varphi}{2\pi}\right)^2 \cdot R\sqrt{1 - \frac{\varphi^2}{4\pi^2}}
= \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{R^2\varphi^2}{4\pi^2} \cdot R\sqrt{1 - \frac{\varphi^2}{4\pi^2}}
= \frac{R^3}{12\pi} \varphi^2 \sqrt{1 - \frac{\varphi^2}{4\pi^2}}.
$$

由于 $\varphi$ 是留下的扇形圆心角，取值范围为 $0 < \varphi < 2\pi$。

步骤3：求容积最大值

为简化计算，令 $x = \varphi^2$，则 $x \in (0, 4\pi^2)$，容积函数为：
$$
V(x) = \frac{R^3}{12\pi} x \sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}}.
$$

求导前先忽略常数系数 $\frac{R^3}{12\pi}$，考虑函数：
$$
f(x) = x \sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}}.
$$

对 $f(x)$ 求导：
$$
f'(x) = \sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}}} \cdot \left(-\frac{1}{4\pi^2}\right)
= \sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}} - \frac{x}{8\pi^2 \sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}}}.
$$

令 $f'(x) = 0$，两边乘以 $\sqrt{1 - \frac{x}{4\pi^2}}$ 得：
$$
1 - \frac{x}{4\pi^2} - \frac{x}{8\pi^2} = 0
\quad\Rightarrow\quad 1 - \frac{3x}{8\pi^2} = 0.
$$

解得：
$$
x = \frac{8\pi^2}{3}.
$$

即：
$$
\varphi^2 = \frac{8\pi^2}{3} \quad\Rightarrow\quad \varphi = \sqrt{\frac{8}{3}}\pi = \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi.
$$

步骤4：验证最大值

由于 $0 < \varphi < 2\pi$，且 $\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi \approx 1.633\pi < 2\pi$，在定义域内。导数符号分析可知该点为极大值点，且为唯一驻点，故为最大值点。

结论：当留下的扇形圆心角 $\varphi = \displaystyle{\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi}$ 时，漏斗容积最大。

难度：★★★☆☆