同济高数 第3章 第3-5-17题
📝 题目
17．一房地产公司有 50 套公寓要出租．当月租金定为 4000 元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费 400 元的维修费．试问房租定为多少可获得最大收人？
💡 答案解析
[AI解答]
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设房租每月为 $x$ 元，则相对于 4000 元，增加的金额为 $x - 4000$ 元。
每增加 200 元就会多一套租不出去，因此租不出去的套数为：
$$
\frac{x - 4000}{200}
$$
所以租出去的公寓套数为：
$$
50 - \frac{x - 4000}{200}
$$
每套租出去的公寓每月需维修费 400 元，因此每套实际收入为 $x - 400$ 元。
总收入函数为：
$$
R(x) = (x - 400) \left( 50 - \frac{x - 4000}{200} \right)
$$
化简：
$$
R(x) = (x - 400) \left( 50 - \frac{x}{200} + 20 \right)
= (x - 400) \left( 70 - \frac{x}{200} \right)
$$
展开：
$$
R(x) = 70x - \frac{x^2}{200} - 28000 + \frac{400x}{200}
= 70x - \frac{x^2}{200} - 28000 + 2x
$$
$$
R(x) = 72x - \frac{x^2}{200} - 28000
$$
这是一个开口向下的二次函数，最大值在导数等于零处取得：
$$
R'(x) = 72 - \frac{x}{100} = 0
$$
解得：
$$
\frac{x}{100} = 72 \quad \Rightarrow \quad x = 7200
$$
因此，房租定为 7200 元 时，可获得最大收入。
此时租出套数为：
$$
50 - \frac{7200 - 4000}{200} = 50 - 16 = 34 \text{ 套}
$$
最大收入为：
$$
R(7200) = (7200 - 400) \times 34 = 6800 \times 34 = 231200 \text{ 元}
$$
难度：★★☆☆☆