同济高数 第3章 第3-5-3题
📝 题目
3．试问 $a$ 为何值时，函数 $\displaystyle f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知函数
$$
f(x)=a\sin x+\frac13\sin 3x
$$
首先求导：
$$
f'(x)=a\cos x+\cos 3x
$$
因为 $\sin 3x$ 的导数为 $3\cos 3x$，再乘以 $\frac13$ 得 $\cos 3x$。
在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值的必要条件是 $f'(\frac{\pi}{3})=0$。
代入：
$$
\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad \cos\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\cos\pi=-1
$$
所以
$$
f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=a\cdot\frac12 + (-1)=\frac{a}{2}-1=0
$$
解得
$$
a=2
$$
此时再求二阶导数判断极值类型：
$$
f''(x)=-a\sin x-3\sin 3x
$$
代入 $a=2$ 和 $x=\frac{\pi}{3}$：
$$
\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin\pi=0
$$
所以
$$
f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-3\cdot0=-\sqrt3<0
$$
因此是极大值。
最后求该极值：
$$
f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\frac13\sin\pi
=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+0=\sqrt3
$$
结论：
当 $a=2$ 时，函数在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极大值 $\sqrt3$。
难度：★☆☆☆☆