同济高数 第3章 第3-5-6题
📝 题目
6．求下列函数的最大值、最小值；
（1）$y=2 x^{3}-3 x^{2},-1 \leqslant x \leqslant 4$ ；
（2）$y=x^{4}-8 x^{2}+2,-1 \leqslant x \leqslant 3$ ；
（3）$y=x+\sqrt{1-x},-5 \leqslant x \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们分别求各函数在给定闭区间上的最大值与最小值。方法：先求导找区间内的临界点，再比较端点与临界点的函数值。
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（1）$ y = 2x^{3} - 3x^{2} $，$ -1 \leqslant x \leqslant 4 $
求导：
$$
y' = 6x^{2} - 6x = 6x(x - 1)
$$
令 $ y' = 0 $ 得：
$$
x = 0,\quad x = 1
$$
均在区间 $[-1,4]$ 内。
计算函数值：
$$
\begin{aligned}
y(-1) &= 2(-1)^3 - 3(-1)^2 = -2 - 3 = -5 \\
y(0) &= 0 - 0 = 0 \\
y(1) &= 2 - 3 = -1 \\
y(4) &= 2(64) - 3(16) = 128 - 48 = 80
\end{aligned}
$$
比较得：
$$
\max = 80 \quad (x=4),\quad \min = -5 \quad (x=-1)
$$
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（2）$ y = x^{4} - 8x^{2} + 2 $，$ -1 \leqslant x \leqslant 3 $
求导：
$$
y' = 4x^{3} - 16x = 4x(x^{2} - 4) = 4x(x-2)(x+2)
$$
令 $ y' = 0 $ 得：
$$
x = 0,\quad x = 2,\quad x = -2
$$
其中 $ x = -2 $ 不在区间 $[-1,3]$ 内，舍去。保留 $ x = 0, 2 $。
计算函数值：
$$
\begin{aligned}
y(-1) &= 1 - 8 + 2 = -5 \\
y(0) &= 0 - 0 + 2 = 2 \\
y(2) &= 16 - 32 + 2 = -14 \\
y(3) &= 81 - 72 + 2 = 11
\end{aligned}
$$
比较得：
$$
\max = 11 \quad (x=3),\quad \min = -14 \quad (x=2)
$$
---
（3）$ y = x + \sqrt{1 - x} $，$ -5 \leqslant x \leqslant 1 $
定义域：$ 1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 $，区间满足条件。
求导：
$$
y' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}
$$
令 $ y' = 0 $：
$$
1 - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 1
$$
$$
2\sqrt{1-x} = 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-x} = \frac12
$$
$$
1 - x = \frac14 \quad\Rightarrow\quad x = \frac34
$$
在区间 $[-5,1]$ 内。
计算函数值：
$$
\begin{aligned}
y(-5) &= -5 + \sqrt{1 - (-5)} = -5 + \sqrt{6} \approx -5 + 2.449 = -2.551 \\
y\left(\frac34\right) &= \frac34 + \sqrt{1 - \frac34} = \frac34 + \sqrt{\frac14} = \frac34 + \frac12 = \frac54 = 1.25 \\
y(1) &= 1 + \sqrt{0} = 1
\end{aligned}
$$
比较得：
$$
\max = 1.25 \quad \left(x=\frac34\right),\quad \min = -5 + \sqrt{6} \quad (x=-5)
$$
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最终答案：
（1）最大值 $80$，最小值 $-5$
（2）最大值 $11$，最小值 $-14$
（3）最大值 $\displaystyle \frac54$，最小值 $-5 + \sqrt{6}$
难度：★★☆☆☆