同济高数 第3章 第3-5-9题
📝 题目
9．设函数 $f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}(n=1,2,3, \cdots), M(n)=\max _{x \in[0,1]} f_{n}(x)$ ，试求 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} M(n)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求
$$
f_n(x)=n x(1-x)^n,\quad x\in[0,1],\quad n=1,2,3,\dots
$$
的最大值 $M(n)=\max_{x\in[0,1]} f_n(x)$，并求
$$
\lim_{n\to\infty} M(n).
$$
第一步：求驻点
对 $f_n(x)$ 关于 $x$ 求导：
$$
f_n'(x)=n(1-x)^n + n x \cdot n(1-x)^{n-1}\cdot(-1)
$$
更准确地计算：
$$
f_n(x)=n x (1-x)^n
$$
$$
f_n'(x)=n(1-x)^n + n x \cdot n(1-x)^{n-1}\cdot(-1)
= n(1-x)^n - n^2 x (1-x)^{n-1}.
$$
提取公因式 $n(1-x)^{n-1}$：
$$
f_n'(x)=n(1-x)^{n-1}\big[(1-x) - n x\big]
= n(1-x)^{n-1}\big[1 - x - n x\big]
= n(1-x)^{n-1}\big[1 - (n+1)x\big].
$$
令 $f_n'(x)=0$，在区间 $(0,1)$ 内得到
$$
1-(n+1)x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{n+1}.
$$
端点 $x=0$ 或 $x=1$ 处函数值为0，因此最大值在内部驻点取得。
第二步：计算最大值
代入 $x=\frac{1}{n+1}$：
$$
f_n\!\left(\frac{1}{n+1}\right)= n\cdot\frac{1}{n+1}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n
= \frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.
$$
所以
$$
M(n)=\frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.
$$
第三步：求极限
$$
\lim_{n\to\infty} M(n)=\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.
$$
先看第一部分：
$$
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\to 1.
$$
第二部分：
$$
\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.
$$
由重要极限 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=e$，得
$$
\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to \frac{1}{e}.
$$
因此
$$
\lim_{n\to\infty} M(n)=1\cdot\frac{1}{e}=\frac{1}{e}.
$$
最终答案
$$
\boxed{\dfrac{1}{e}}
$$
难度：★★☆☆☆