同济高数 第3章 第3-6-5题
📝 题目
5．$\displaystyle y=\frac{\cos x}{\cos 2 x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数 $ y = \frac{\cos x}{\cos 2x} $ 的导数。
步骤1：识别函数结构
该函数是分式形式，分子为 $\cos x$，分母为 $\cos 2x$，因此我们使用商的求导法则：
$$
y' = \frac{(\cos x)' \cdot \cos 2x - \cos x \cdot (\cos 2x)'}{(\cos 2x)^2}
$$
步骤2：分别求导
- 分子导数：$(\cos x)' = -\sin x$
- 分母导数：$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$
步骤3：代入公式
$$
y' = \frac{(-\sin x) \cdot \cos 2x - \cos x \cdot (-2\sin 2x)}{\cos^2 2x}
$$
化简分子中的符号：
$$
y' = \frac{-\sin x \cos 2x + 2\cos x \sin 2x}{\cos^2 2x}
$$
步骤4：利用三角恒等式化简
我们知道 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，代入分子第二项：
$$
2\cos x \sin 2x = 2\cos x \cdot (2\sin x \cos x) = 4\sin x \cos^2 x
$$
但更简洁的方法是使用和角公式：
注意到
$$
2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x
$$
可以写成 $\sin(2x - x)$ 的形式吗？
实际上，$\sin(2x - x) = \sin x$，但这里系数不同。我们尝试直接使用恒等式：
$$
\sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x = \sin(2x - x) = \sin x
$$
因此
$$
2\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x = \sin x + \cos x \sin 2x
$$
这样并不简化。我们换一种方式：
将分子写成：
$$
-\sin x \cos 2x + 2\cos x \sin 2x
$$
提取 $\sin x$？或者直接用公式：
$$
\sin 2x = 2\sin x \cos x
$$
代入得：
$$
-\sin x \cos 2x + 2\cos x \cdot (2\sin x \cos x) = -\sin x \cos 2x + 4\sin x \cos^2 x
$$
提取 $\sin x$：
$$
= \sin x (4\cos^2 x - \cos 2x)
$$
又因为 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$，所以：
$$
4\cos^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x + 1
$$
因此分子为：
$$
\sin x (2\cos^2 x + 1)
$$
步骤5：写出最终导数
$$
y' = \frac{\sin x (2\cos^2 x + 1)}{\cos^2 2x}
$$
也可以利用 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ 将分母表达为 $\cos^2 2x$，但通常保留原样即可。
因此最终结果为：
$$
\boxed{y' = \frac{\sin x (2\cos^2 x + 1)}{\cos^2 2x}}
$$
难度：★★☆☆☆
（涉及商的求导法则与三角恒等变形，计算稍需细心，但无复杂技巧。）