同济高数 第3章 第3-7-7题
📝 题目
7．一飞机沿抛物线路径 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{10000}(y$ 轴铅直向上，单位为 m$)$ 做俯冲飞行．在坐标原点 $O$ 处飞机的速度为 $v=200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．飞行员体重 $G=70 \mathrm{~kg}$ ．求飞机俯冲至最低点即原点 $O$ 处时座椅对飞行员的反力．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先明确题意：飞机沿抛物线 $y = \frac{x^{2}}{10000}$ 俯冲，在原点 $O$ 处速度 $v = 200\ \mathrm{m/s}$，飞行员质量 $m = 70\ \mathrm{kg}$，要求最低点（即原点）处座椅对飞行员的反力。由于是俯冲最低点，该点曲率半径最小，法向加速度最大，反力由重力和向心力合成。
步骤1：计算抛物线在原点处的曲率半径
曲线 $y = f(x)$ 的曲率公式为：
$$
K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^{2})^{3/2}}
$$
曲率半径 $\rho = \frac{1}{K}$。
给定：
$$
y = \frac{x^{2}}{10000}
$$
一阶导数：
$$
y' = \frac{2x}{10000} = \frac{x}{5000}
$$
二阶导数：
$$
y'' = \frac{1}{5000}
$$
在原点 $x=0$ 处：
$$
y'(0) = 0,\quad y''(0) = \frac{1}{5000}
$$
因此曲率：
$$
K = \frac{\left| \frac{1}{5000} \right|}{(1+0)^{3/2}} = \frac{1}{5000}
$$
曲率半径：
$$
\rho = \frac{1}{K} = 5000\ \mathrm{m}
$$
步骤2：计算最低点处的法向加速度
飞机在最低点做圆周运动（近似），法向加速度：
$$
a_n = \frac{v^{2}}{\rho}
$$
代入 $v = 200\ \mathrm{m/s}$，$\rho = 5000\ \mathrm{m}$：
$$
a_n = \frac{200^{2}}{5000} = \frac{40000}{5000} = 8\ \mathrm{m/s^{2}}
$$
步骤3：受力分析并求反力
在最低点，飞行员受到重力 $mg$ 向下，座椅支持力 $N$ 向上，合力提供向上的向心加速度（因为曲率中心在正上方，俯冲最低点法向向上）：
$$
N - mg = m a_n
$$
所以：
$$
N = m(g + a_n)
$$
取 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^{2}}$，$m = 70\ \mathrm{kg}$：
$$
N = 70 \times (9.8 + 8) = 70 \times 17.8 = 1246\ \mathrm{N}
$$
若取 $g = 10\ \mathrm{m/s^{2}}$ 近似：
$$
N = 70 \times 18 = 1260\ \mathrm{N}
$$
最终答案（取 $g=9.8$）：
$$
\boxed{1246\ \mathrm{N}}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及曲率半径计算与圆周运动受力分析，步骤清晰，计算简单，属于中等偏易题型。）