同济高数 第4章 第4-1-1题
📝 题目
1．利用求导运算验证下列等式：
（1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C$ ；
（2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C$ ；
（3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=\arctan x+\frac{1}{x+1}+C$ ；
（4） $\displaystyle{\int} \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\tan x+\sec x|+C$ ；
（5） $\displaystyle{\int} x \cos x \mathrm{~d} x=x \sin x+\cos x+C$ ；
（6） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x}(\sin x-\cos x)+C$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下逐题验证：对等式右端求导，看是否等于被积函数。
---
（1）
设
$$
F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C
$$
求导：
$$
F'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)
=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}
=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
$$
与被积函数一致，故等式成立。
---
（2）
设
$$
F(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C
$$
求导：
$$
F'(x)=\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\cdot x - \sqrt{x^{2}-1}\cdot 1}{x^{2}}
=\frac{\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}}
=\frac{\frac{x^{2}-(x^{2}-1)}{\sqrt{x^{2}-1}}}{x^{2}}
=\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}
$$
与被积函数一致，故等式成立。
---
（3）
设
$$
F(x)=\arctan x+\frac{1}{x+1}+C
$$
求导：
$$
F'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}
$$
通分：
$$
\frac{(x+1)^{2}-(1+x^{2})}{(1+x^{2})(x+1)^{2}}
=\frac{x^{2}+2x+1-1-x^{2}}{(1+x^{2})(x+1)^{2}}
=\frac{2x}{(x^{2}+1)(x+1)^{2}}
$$
与被积函数一致，故等式成立。
---
（4）
设
$$
F(x)=\ln|\tan x+\sec x|+C
$$
求导：
$$
F'(x)=\frac{1}{\tan x+\sec x}\cdot(\sec^{2}x+\sec x\tan x)
=\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\tan x+\sec x}
=\sec x
$$
与被积函数一致，故等式成立。
---
（5）
设
$$
F(x)=x\sin x+\cos x+C
$$
求导：
$$
F'(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x
$$
与被积函数一致，故等式成立。
---
（6）
设
$$
F(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}(\sin x-\cos x)+C
$$
求导：
$$
F'(x)=\frac{1}{2}\left[\mathrm{e}^{x}(\sin x-\cos x)+\mathrm{e}^{x}(\cos x+\sin x)\right]
=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}(2\sin x)=\mathrm{e}^{x}\sin x
$$
与被积函数一致，故等式成立。
---
难度评级：★☆☆☆☆
（均为直接求导验证，计算量小，思路单一，属于基础练习。）