同济高数 第4章 第4-1-3题
📝 题目
3．含有末知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x)$ ，其中 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 为末知函数的导数， $f(x)$ 为已知函数．如果将函数 $y=\varphi(x)$ 代人微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数 $y=\varphi(x)$ 就称为该微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解：
（1）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x-2)^{2},\left.\quad y\right|_{x=2}=0$ ；
（2）$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=\frac{2}{t^{3}},\left.\quad \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=1}=1,\left.x\right|_{t=1}=1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1） 给定微分方程
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = (x-2)^{2}
$$
初始条件：
$$
\left. y \right|_{x=2} = 0
$$
直接积分得：
$$
y = \int (x-2)^{2} \, \mathrm{d}x
$$
令 $u = x-2$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，积分得：
$$
y = \int u^{2} \, \mathrm{d}u = \frac{u^{3}}{3} + C = \frac{(x-2)^{3}}{3} + C
$$
代入初始条件 $x=2$ 时 $y=0$：
$$
0 = \frac{(2-2)^{3}}{3} + C \quad\Rightarrow\quad C = 0
$$
因此解为：
$$
\boxed{y = \frac{(x-2)^{3}}{3}}
$$
---
（2） 给定二阶微分方程
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}} = \frac{2}{t^{3}}
$$
初始条件：
$$
\left. \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \right|_{t=1} = 1,\quad \left. x \right|_{t=1} = 1
$$
先对两边积分一次，得到一阶导数：
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = \int \frac{2}{t^{3}} \, \mathrm{d}t = 2 \int t^{-3} \, \mathrm{d}t = 2 \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C_{1} = -\frac{1}{t^{2}} + C_{1}
$$
代入条件 $\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=1}=1$：
$$
1 = -\frac{1}{1^{2}} + C_{1} \quad\Rightarrow\quad C_{1} = 2
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = -\frac{1}{t^{2}} + 2
$$
再积分一次：
$$
x = \int \left( -\frac{1}{t^{2}} + 2 \right) \mathrm{d}t = \int -t^{-2} \, \mathrm{d}t + \int 2 \, \mathrm{d}t = \frac{1}{t} + 2t + C_{2}
$$
代入条件 $x(1)=1$：
$$
1 = \frac{1}{1} + 2\cdot 1 + C_{2} \quad\Rightarrow\quad 1 = 1 + 2 + C_{2} \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -2
$$
因此解为：
$$
\boxed{x = \frac{1}{t} + 2t - 2}
$$
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难度：★☆☆☆☆