同济高数 第4章 第4-1-7题
📝 题目
7．证明 $\arcsin (2 x-1), \arccos (1-2 x)$ 和 $\displaystyle 2 \arctan \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 都是 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 的原函数．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明三个函数都是 $\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$ 的原函数，只需分别求导，验证其导数等于该被积函数即可。注意定义域为 $0 < x < 1$。
**第一步：对 $\arcsin(2x-1)$ 求导**
设 $y_1 = \arcsin(2x-1)$，则
$$
\frac{dy_1}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(2x-1)^2}} \cdot 2
$$
计算内部平方：
$$
(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1
$$
因此
$$
1 - (2x-1)^2 = 1 - (4x^2 - 4x + 1) = 4x - 4x^2 = 4(x - x^2)
$$
所以
$$
\frac{dy_1}{dx} = \frac{2}{\sqrt{4(x-x^2)}} = \frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}
$$
成立。
**第二步：对 $\arccos(1-2x)$ 求导**
设 $y_2 = \arccos(1-2x)$，则
$$
\frac{dy_2}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2) = \frac{2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}
$$
计算内部平方：
$$
(1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2
$$
因此
$$
1 - (1-2x)^2 = 1 - (1 - 4x + 4x^2) = 4x - 4x^2 = 4(x - x^2)
$$
所以
$$
\frac{dy_2}{dx} = \frac{2}{\sqrt{4(x-x^2)}} = \frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}
$$
成立。
**第三步：对 $2\arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 求导**
设 $y_3 = 2\arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}$，令 $u = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$，则
$$
\frac{dy_3}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}
$$
先计算 $u^2 = \frac{x}{1-x}$，则
$$
1+u^2 = 1 + \frac{x}{1-x} = \frac{1-x + x}{1-x} = \frac{1}{1-x}
$$
再计算 $\frac{du}{dx}$：
$$
u = \left(\frac{x}{1-x}\right)^{1/2}
$$
$$
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x}\right)
$$
而
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x}\right) = \frac{(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}
$$
因此
$$
\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{x}} \cdot \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1-x)^{3/2}}
$$
于是
$$
\frac{dy_3}{dx} = 2 \cdot (1-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1-x)^{3/2}} = \frac{1-x}{\sqrt{x}(1-x)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}(1-x)^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}
$$
而 $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{x - x^2}$，所以
$$
\frac{dy_3}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}
$$
成立。
结论：三个函数的导数均等于 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$，因此它们都是该函数的原函数。
难度：★★☆☆☆