同济高数 第4章 第4-3-10题

[AI解答]

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我们要求不定积分：
$$
\int x \tan^2 x \, \mathrm{d}x
$$

步骤1：利用三角恒等式化简
回忆恒等式：
$$
\tan^2 x = \sec^2 x - 1
$$
因此原积分可写为：
$$
\int x \tan^2 x \, \mathrm{d}x = \int x (\sec^2 x - 1) \, \mathrm{d}x
= \int x \sec^2 x \, \mathrm{d}x - \int x \, \mathrm{d}x
$$

步骤2：分别计算两个积分
第二个积分简单：
$$
\int x \, \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}
$$

第一个积分使用分部积分法。令：
$$
u = x, \quad \mathrm{d}v = \sec^2 x \, \mathrm{d}x
$$
则：
$$
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \tan x
$$
分部积分公式：
$$
\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u
$$
所以：
$$
\int x \sec^2 x \, \mathrm{d}x = x \tan x - \int \tan x \, \mathrm{d}x
$$

**步骤3：计算 $\int \tan x \, \mathrm{d}x$**
我们知道：
$$
\int \tan x \, \mathrm{d}x = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C
$$

因此：
$$
\int x \sec^2 x \, \mathrm{d}x = x \tan x - \ln|\sec x| + C_1
$$

步骤4：合并结果
原积分：
$$
\int x \tan^2 x \, \mathrm{d}x = \left( x \tan x - \ln|\sec x| \right) - \frac{x^2}{2} + C
$$

所以最终结果为：
$$
\boxed{x \tan x - \ln|\sec x| - \frac{x^2}{2} + C}
$$

难度：★★☆☆☆