同济高数 第4章 第4-3-16题
📝 题目
16． $\displaystyle{\int} x \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分：
$$
\int x \ln(x-1) \, \mathrm{d}x
$$
步骤1：使用分部积分法
令
$$
u = \ln(x-1), \quad \mathrm{d}v = x \, \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{x-1} \, \mathrm{d}x, \quad v = \frac{x^2}{2}
$$
分部积分公式：
$$
\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u
$$
代入得：
$$
\int x \ln(x-1) \, \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln(x-1) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x-1} \, \mathrm{d}x
$$
步骤2：化简剩余积分
计算
$$
\int \frac{x^2}{x-1} \, \mathrm{d}x
$$
将分子除以分母：
$$
\frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}
$$
因此
$$
\int \frac{x^2}{x-1} \, \mathrm{d}x = \int \left( x + 1 + \frac{1}{x-1} \right) \mathrm{d}x
= \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C
$$
步骤3：代回原式
原积分 =
$$
\frac{x^2}{2} \ln(x-1) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| \right) + C
$$
整理得：
$$
= \frac{x^2}{2} \ln(x-1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln|x-1| + C
$$
合并对数项：
$$
= \frac{1}{2}(x^2 - 1) \ln|x-1| - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + C
$$
最终结果：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 1) \ln|x-1| - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + C}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（只需一次分部积分与多项式除法，计算量较小，但需注意对数定义域）