同济高数 第4章 第4-3-17题
📝 题目
17． $\displaystyle{\int}\left(x^{2}-1\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求不定积分：
$$
\int (x^2 - 1) \sin 2x \, \mathrm{d}x
$$
步骤1：使用分部积分法
设
$$
u = x^2 - 1, \quad \mathrm{d}v = \sin 2x \, \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x, \quad v = \int \sin 2x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cos 2x
$$
由分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$，得
$$
\int (x^2 - 1) \sin 2x \, \mathrm{d}x
= (x^2 - 1) \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right)
- \int \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) \cdot 2x \, \mathrm{d}x
$$
化简：
$$
= -\frac{1}{2}(x^2 - 1) \cos 2x + \int x \cos 2x \, \mathrm{d}x
$$
步骤2：再次分部积分
对 $\int x \cos 2x \, \mathrm{d}x$，设
$$
u = x, \quad \mathrm{d}v = \cos 2x \, \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \frac{1}{2} \sin 2x
$$
于是
$$
\int x \cos 2x \, \mathrm{d}x
= x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, \mathrm{d}x
= \frac{x}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, \mathrm{d}x
$$
而
$$
\int \sin 2x \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cos 2x
$$
所以
$$
\int x \cos 2x \, \mathrm{d}x
= \frac{x}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right)
= \frac{x}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x
$$
步骤3：代回原式
原积分
$$
= -\frac{1}{2}(x^2 - 1) \cos 2x + \left( \frac{x}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x \right) + C
$$
合并含 $\cos 2x$ 的项：
$$
-\frac{1}{2}x^2 \cos 2x + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \cos 2x
= -\frac{1}{2}x^2 \cos 2x + \frac{3}{4} \cos 2x
$$
因此结果为：
$$
\boxed{-\frac{1}{2}x^{2}\cos 2x + \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{3}{4}\cos 2x + C}
$$
难度：★★☆☆☆