同济高数 第4章 第4-3-6题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求不定积分：
$$
\int e^{-x} \cos x \, dx
$$

这是一个典型的分部积分循环型积分。设：
$$
I = \int e^{-x} \cos x \, dx
$$

使用分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

令：
$$
u = \cos x, \quad dv = e^{-x} dx
$$
则：
$$
du = -\sin x \, dx, \quad v = -e^{-x}
$$

于是：
$$
I = \cos x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx
$$
$$
= -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx
$$

现在对 $\int e^{-x} \sin x \, dx$ 再次分部积分。令：
$$
u = \sin x, \quad dv = e^{-x} dx
$$
则：
$$
du = \cos x \, dx, \quad v = -e^{-x}
$$

于是：
$$
\int e^{-x} \sin x \, dx = \sin x \cdot (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx
$$
$$
= -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx
$$

代回原式：
$$
I = -e^{-x} \cos x - \left( -e^{-x} \sin x + I \right)
$$
$$
I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I
$$

移项：
$$
2I = e^{-x} (\sin x - \cos x)
$$

因此：
$$
I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C
$$

最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \int e^{-x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x) + C}
$$

难度：★★☆☆☆