同济高数 第4章 第4-3-8题
📝 题目
8． $\displaystyle{\int} x \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分：
$$
\int x \cos \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x
$$
使用分部积分法。设
$$
u = x, \quad \mathrm{d}v = \cos\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \int \cos\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = 2\sin\frac{x}{2}
$$
由分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$，得
$$
\int x \cos\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = x \cdot 2\sin\frac{x}{2} - \int 2\sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x
$$
即
$$
= 2x\sin\frac{x}{2} - 2\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x
$$
而
$$
\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = -2\cos\frac{x}{2} + C
$$
因此
$$
= 2x\sin\frac{x}{2} - 2\left(-2\cos\frac{x}{2}\right) + C
$$
$$
= 2x\sin\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2} + C
$$
最终结果为：
$$
\boxed{2x\sin\frac{x}{2} + 4\cos\frac{x}{2} + C}
$$
难度：★☆☆☆☆
（仅需一次分部积分，且三角函数积分简单）