同济高数 第4章 第4-3-9题
📝 题目
9． $\displaystyle{\int} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分：
$$
\displaystyle{\int} x^{2} \arctan x \, \mathrm{d}x
$$
步骤1：分部积分法
令
$$
u = \arctan x, \quad \mathrm{d}v = x^{2} \mathrm{d}x
$$
则
$$
\mathrm{d}u = \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x, \quad v = \frac{x^{3}}{3}
$$
由分部积分公式
$$
\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u
$$
得
$$
\int x^{2} \arctan x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \arctan x - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \, \mathrm{d}x
$$
步骤2：化简剩余积分
$$
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \, \mathrm{d}x
$$
做多项式除法：
$$
\frac{x^{3}}{1+x^{2}} = x - \frac{x}{1+x^{2}}
$$
所以
$$
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \int x \, \mathrm{d}x - \int \frac{x}{1+x^{2}} \, \mathrm{d}x
$$
步骤3：分别积分
$$
\int x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2}
$$
对于第二项，令 $ t = 1+x^{2} $，则 $\mathrm{d}t = 2x \, \mathrm{d}x$，于是
$$
\int \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \ln|1+x^{2}| + C
$$
因此
$$
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) + C
$$
步骤4：代回原式
$$
\int x^{2} \arctan x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \arctan x - \frac{1}{3} \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) \right) + C
$$
化简得
$$
\int x^{2} \arctan x \, \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3} \arctan x - \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6} \ln(1+x^{2}) + C
$$
最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{x^{3}}{3} \arctan x - \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{6} \ln(1+x^{2}) + C}
$$
难度：★★☆☆☆