同济高数 第4章 第4-4-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{x+3} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分：
$$
\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{x+3} \mathrm{~d} x
$$
步骤1：多项式除法
由于分子次数高于分母，先做多项式除法：
$$
x^{3} \div (x+3)
$$
计算：
- 第一项：$x^{2}$，乘 $(x+3)$ 得 $x^{3}+3x^{2}$，相减得 $-3x^{2}$。
- 第二项：$-3x$，乘 $(x+3)$ 得 $-3x^{2}-9x$，相减得 $9x$。
- 第三项：$9$，乘 $(x+3)$ 得 $9x+27$，相减得 $-27$。
因此：
$$
\frac{x^{3}}{x+3} = x^{2} - 3x + 9 - \frac{27}{x+3}
$$
步骤2：分项积分
于是原积分化为：
$$
\displaystyle{\int} \left( x^{2} - 3x + 9 - \frac{27}{x+3} \right) \mathrm{d}x
$$
分别积分：
$$
\int x^{2} \mathrm{d}x = \frac{x^{3}}{3},\quad
\int (-3x) \mathrm{d}x = -\frac{3x^{2}}{2},\quad
\int 9 \mathrm{d}x = 9x,\quad
\int \frac{27}{x+3} \mathrm{d}x = 27 \ln|x+3|
$$
步骤3：合并结果
因此：
$$
\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{x+3} \mathrm{~d} x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 9x - 27 \ln|x+3| + C
$$
其中 $C$ 为任意常数。
难度：★☆☆☆☆