同济高数 第4章 第4-4-15题
📝 题目
15． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{3+\cos x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分
$$
\int \frac{dx}{3+\cos x}.
$$
这是一个典型的有理三角函数积分，常用万能代换 $ t = \tan\frac{x}{2} $ 来处理。
步骤1：万能代换
令
$$
t = \tan\frac{x}{2}, \quad 则 \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\, dt.
$$
步骤2：代入积分
原积分变为
$$
\int \frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt
= \int \frac{2}{3(1+t^2) + (1-t^2)} \, dt.
$$
步骤3：化简分母
分母计算：
$$
3(1+t^2) + (1-t^2) = 3 + 3t^2 + 1 - t^2 = 4 + 2t^2 = 2(2 + t^2).
$$
因此积分化为
$$
\int \frac{2}{2(2+t^2)}\, dt = \int \frac{1}{2+t^2}\, dt.
$$
步骤4：积分计算
这是一个标准积分：
$$
\int \frac{1}{2+t^2}\, dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\frac{t}{\sqrt{2}} + C.
$$
步骤5：回代变量
将 $ t = \tan\frac{x}{2} $ 代回，得到
$$
\int \frac{dx}{3+\cos x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{2}} \right) + C.
$$
因此最终结果为
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{2}} \right) + C}.
$$
难度评级：★★☆☆☆
（属于常见万能代换题型，计算步骤清晰，但需要熟悉三角有理积分技巧。）