同济高数 第4章 第4-4-16题
📝 题目
16． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2+\sin x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解不定积分
$$
\int \frac{dx}{2+\sin x}.
$$
步骤1：使用万能代换
令
$$
t = \tan\frac{x}{2},
$$
则
$$
\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt.
$$
代入原积分得
$$
\int \frac{dx}{2+\sin x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2 + \frac{2t}{1+t^2}}\,dt
= \int \frac{2}{1+t^2} \cdot \frac{1}{\frac{2(1+t^2) + 2t}{1+t^2}}\,dt.
$$
步骤2：化简被积函数
分母通分：
$$
2 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{2(1+t^2) + 2t}{1+t^2} = \frac{2t^2 + 2t + 2}{1+t^2}.
$$
于是
$$
\int \frac{dx}{2+\sin x} = \int \frac{2}{1+t^2} \cdot \frac{1+t^2}{2(t^2 + t + 1)}\,dt
= \int \frac{1}{t^2 + t + 1}\,dt.
$$
步骤3：配方并积分
对分母配方：
$$
t^2 + t + 1 = \left(t + \frac12\right)^2 + \frac34.
$$
因此
$$
\int \frac{1}{t^2 + t + 1}\,dt = \int \frac{1}{\left(t+\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\,dt.
$$
利用公式 $\displaystyle{\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac1a \arctan\frac{u}{a} + C}$，令
$$
u = t + \frac12,\quad a = \frac{\sqrt{3}}{2},
$$
得
$$
\int \frac{1}{t^2 + t + 1}\,dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2t+1}{\sqrt{3}} + C.
$$
步骤4：回代变量
由 $t = \tan\frac{x}{2}$，得到
$$
\int \frac{dx}{2+\sin x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} \right) + C.
$$
因此最终结果为
$$
\boxed{\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} \right) + C}}.
$$
难度：★★☆☆☆
（涉及万能代换与有理函数积分，步骤规范但计算量适中）