同济高数 第4章 第4-4-21题

[AI解答]

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我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \, dx
$$

第一步：换元
令
$$
t = \sqrt{x+1} \quad \Rightarrow \quad t^2 = x+1, \quad dx = 2t \, dt
$$
代入原积分得：
$$
\int \frac{t-1}{t+1} \cdot 2t \, dt
= 2 \int \frac{t(t-1)}{t+1} \, dt
$$

第二步：化简被积函数
将分子展开：
$$
t(t-1) = t^2 - t
$$
做多项式除法：
$$
\frac{t^2 - t}{t+1} = \frac{(t^2 + t) - 2t}{t+1}
= t - \frac{2t}{t+1}
$$
再对 $\frac{2t}{t+1}$ 做除法：
$$
\frac{2t}{t+1} = 2 - \frac{2}{t+1}
$$
因此：
$$
\frac{t^2 - t}{t+1} = t - \left(2 - \frac{2}{t+1}\right) = t - 2 + \frac{2}{t+1}
$$

第三步：积分
于是原积分化为：
$$
2 \int \left( t - 2 + \frac{2}{t+1} \right) dt
= 2 \left( \frac{t^2}{2} - 2t + 2\ln|t+1| \right) + C
$$
即：
$$
t^2 - 4t + 4\ln|t+1| + C
$$

第四步：回代
由 $ t = \sqrt{x+1} $，且 $ t^2 = x+1 $，得：
$$
\int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} dx
= (x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right) + C
$$
可简写为：
$$
x + 1 - 4\sqrt{x+1} + 4\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right) + C
$$
常数 $1$ 可并入常数 $C$，故最终结果为：
$$
\boxed{x - 4\sqrt{x+1} + 4\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right) + C}
$$

难度：★★☆☆☆